Lois du mouvement de Newton

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Les lois du mouvement de Newton sont en fait des principes à la base de la grande théorie de Newton concernant le mouvement des corps, théorie que l'on nomme aujourd'hui Mécanique newtonienne ou encore Mécanique classique. À ces lois générales du mouvement fondées en particulier sur le principe de relativité des mouvements, Newton a ajouté la loi de la gravitation universelle permettant d'interpréter aussi bien la chute des corps que le mouvement de la Lune autour de la Terre.

Sommaire 1 Première loi de Newton ou principe d'inertie 1.1 Énoncé 1.2 Problème du référentiel galiléen 2 Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique 2.1 Énoncé 2.2 Théorème de la quantité de mouvement 2.3 Retour sur le principe d'inertie 2.4 Référentiels non-galiléens 3 Troisième loi de Newton ou principe des actions réciproques 4 Autres lois de Newton 4.1 Loi d'interaction gravitationnelle 4.2 "Cinquième corollaire" de Newton: principe de relativité 5 Histoire et épistémologie 5.1 Contexte historique 5.2 Epistémologie 6 Problèmes et limites 6.1 Univers absolu 6.2 Limites relativistes 6.3 Limites quantiques 7 Déterminisme et démonstration des lois de Newton 7.1 Approche de Laplace et de Noether 7.2 Remarque sur le chaos déterministe 8 Notes

[modifier] Première loi de Newton ou principe d'inertie

[modifier] Énoncé

L'énoncé original de la première loi du mouvement^[1] est le suivant :

Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état.

Autrement dit, s'il n'y a pas de force qui s'exerce sur un corps (corps isolé), ou si la somme des forces s'exerçant sur lui est égale au vecteur nul (corps pseudo-isolé), la direction et la norme de sa vitesse ne changent pas ou, ce qui revient au même, son accélération est nulle. Cette première loi infirme les lois de la physique d'Aristote, d'après lesquelles on pensait que pour maintenir la vitesse d'un mobile constante, il était nécessaire de lui appliquer une force.

Bien que Newton ne l'ait pas précisé dans son ouvrage, cette loi n'est valable que dans un référentiel galiléen. La première loi de Newton peut donc être reformulée dans un langage plus moderne :

Dans un référentiel galiléen, le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système est constant si et seulement si la somme des vecteurs forces qui s'exercent sur le système est un vecteur nul.

[modifier] Problème du référentiel galiléen

La définition d'un référentiel galiléen apparaît fondamentale et est souvent formulée ainsi :

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel la première loi de Newton est vérifiée

Ainsi la première loi de Newton ne s'applique que dans un référentiel galiléen et un référentiel galiléen est un référentiel où la première loi de Newton s'applique … ce qui semble être une définition circulaire. Pour éviter ce problème, on peut réécrire le principe d'inertie comme suit:

Il existe une famille de référentiels, appelés galiléens ou inertiels, tels que, par rapport à l'un de ces référentiels, tout point matériel isolé (qui n'est soumis à aucune action extérieure) est soit au repos, soit animé d'un mouvement rectiligne et uniforme.

La détermination d'un bon référentiel galiléen est en réalité expérimentale et comme souvent en Physique, seule la cohérence entre la théorie (ici la première loi de Newton) et la mesure (mouvement rectiligne uniforme) valide le choix a posteriori.

[modifier] Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique

[modifier] Énoncé

Le principe fondamental de la dynamique (PFD) (parfois appelé Relation fondamentale de la dynamique ou RFD) s'énonce ainsi : Soit un corps de masse m constante,

l'accélération subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse m.

Ceci est souvent récapitulé dans l'équation :

ou

où désigne les forces exercées sur l'objet, m est sa masse, et correspond à l'accélération de son centre d'inertie G.

[modifier] Théorème de la quantité de mouvement

Une forme plus générale, valable également si la masse change au cours du temps est

La force est égale aux changements de quantité de mouvement par unité de temps.

Ceci est souvent récapitulé dans l'équation :

où désigne les forces exercées sur l'objet, est la quantité de mouvement, égale au produit de sa masse m et de sa vitesse .

Ce théorème est appelé théorème de la quantité de mouvement. Pour un solide de masse fixe en mécanique newtonienne, il est équivalent à la seconde loi.

Ainsi, la force nécessaire pour accélérer un objet est le produit de sa masse et de son accélération : plus la masse d'un objet est grande, plus grande est la force requise pour l'accélérer à une vitesse déterminée (en un laps de temps fixé). Quelle que soit la masse d'un objet, toute force nette non-nulle qui lui est appliquée produit une accélération.

[modifier] Retour sur le principe d'inertie

Pour un corps soumis à une résultante des forces nulle on retrouve bien la première loi de Newton, c'est à dire un mouvement rectiligne uniforme. En première analyse, on peut se demander quel est l'utilité de la première loi puisqu'elle semble être une conséquence de la deuxième. En réalité, dans l'énoncé de Newton, il n'en est rien car la première loi n'est pas présentée comme un cas particulier de la deuxième mais comme une condition suffisante à l'application de cette dernière. En effet, énoncer la première loi, c'est affirmer l'existence des référentiels galiléens. Cela constitue un postulat extrêmement fort qui permet, dans les exposés modernes de la mécanique classique, de définir les repères galiléens qui sont les seuls repères dans lesquels la seconde loi est valide. En l'absence de la première loi, la seconde loi est inapplicable puisqu'on ne peut pas définir son domaine de validité. Par conséquent, l'ordre logique dans lequel les lois sont énoncées n'est pas le fruit du hasard mais bien celui d'une construction intellectuelle cohérente.

[modifier] Référentiels non-galiléens

Notons enfin qu'il est possible de reformuler de manière plus large la deuxième loi de Newton dans un référentiel non galiléen en ajoutant des termes dans l'équation qui sont homogènes à des forces, et qu'on appelle souvent "forces d'inertie". Ces termes ne sont pas des forces au sens usuel mais des termes correctifs d'origine géométrique et cinématique.

[modifier] Troisième loi de Newton ou principe des actions réciproques

Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force d'intensité égale, de même direction mais de sens opposé, exercée par le corps B.

A et B étant deux corps en interaction, la force (exercée par A sur B) et la force (exercée par B sur A) qui décrivent l'interaction sont directement opposées :

Dans le cas de la mécanique du point, la troisième loi précise également:

: la force d'interaction est portée par la droite reliant les positions des particules.

Ces forces ont la même droite d'action, des sens opposés et la même norme. Ces deux forces sont toujours directement opposées, que A et B soient immobiles ou en mouvement.

Cette loi est parfois appelée loi d'action - réaction, une formulation au mieux imprécise, au pire entraînant de nombreuses confusions. En particulier, cette ancienne formulation véhicule l'idée qu'il y a toujours une force qui est la "cause" (l'action), l'autre n'étant qu'une sorte de conséquence (la réaction).
Une autre difficulté rencontrée par les étudiants est l'oubli que ces 2 forces et s'exerçent sur 2 corps différents. Elles ne peuvent donc pas "s'annuler mutuellement". L'effet d'annulation n'intervient que lorsqu'on considère un système constitué de différents corps et que l'on s'intéresse à la résultante des forces : dans ce cas, les forces intérieures s'annulent en effet et seule la somme des forces extérieures est à prendre en compte (ce qui est heureux pour étudier le mouvement d'un solide constitué de plus de 10^23 éléments^[2]).

Il convient de faire remarquer ici que la loi des actions réciproques a l'inconvénient de supposer l'application des forces comme instantanée (ce qui est abandonné en relativité restreinte). Dans le cas des forces à distance, il convient dans certains cas d'effectuer des transformations pour tenir compte du retard de propagation.

Cette correction ne relève pas de la relativité. Comme les forces électromagnétiques s'appliquent à distance, on avait mis en évidence que ces forces se propagent à la vitesse de la lumière et non à vitesse infinie, et inclu cette nuance dans les équations, avant la révolution de la relativité restreinte^[3]

[modifier] Autres lois de Newton

[modifier] Loi d'interaction gravitationnelle

Certains auteurs (minoritaires) appellent quatrième loi de Newton sa Loi universelle de la gravitation. Cette dénomination est très contestable, mais elle est mentionnée ici à cause de la parenté historique des lois : si cette loi ne fait pas partie des principes de la mécanique au même titre que les trois autres et le principe de relativité, la première réussite de Newton fut d'utiliser ses lois mécaniques plus sa loi d'interaction gravitationnelle pour démontrer les lois empiriques de Kepler. Ce sont ces premiers succès qui établirent pour longtemps la domination des lois de Newton sur la science.

Notons qu'en combinant cette loi et le principe fondamental de la dynamique, on démontre la prédiction de Galilée selon laquelle dans le vide, tous les objets tombent à la même vitesse (en admettant implicitement qu'inertie et masse gravitationnelle sont égales).

[modifier] "Cinquième corollaire" de Newton: principe de relativité

Newton dans ses Principia a mis en évidence la notion de relativité du mouvement dans les définitions précédant le livre premier. Toutefois, en introduisant dans les scholies II et IV la notion d'espace absolu, il ne dégage pas encore la notion de référentiel galiléen telle qu'elle est définie aujourd'hui. D'autre part, Newton ne fait aucune référence au cas où un référentiel n'est pas en mouvement rectiligne uniforme par rapport à ce qu'il appelle l'espace absolu. Ses résultats sont donc implicitement valables dans des référentiels en mouvement rectiligne uniforme mais aucune infirmation de la validité de ses lois dans les référentiels accélérés n'est donnée dans les Principia. Il faudra attendre les travaux de Coriolis et de Foucault au XIX^e siècle pour que la notion de référentiel galiléen telle qu'elle est connue aujourd'hui se dégage et pour que les formules de changement de repère vers (ou depuis) un référentiel non galiléen soient établies.

Le principe de relativité s'énonce comme suit: "Deux référentiels d'espace en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre sont équivalents pour les lois de la mécanique."

(au sens de Newton, il faudrait se restreindre aux référentiels en mouvement rectiligne uniforme par rapport à l'espace absolu, en se souvenant que si un référentiel est en mouvement rectiligne uniforme par rapport à un deuxième lui-même en mouvement rectiligne uniforme par rapport à l'espace absolu, alors le premier référentiel est en mouvement rectiligne uniforme par rapport à l'espace absolu)

On pourra le vérifier, en admettant les trois premières lois, l'invariance du temps, de la masse et des forces (implicite en physique préeinsteinienne). C'est pourquoi ce principe est appelé ici corollaire.

Ce principe est dit principe de relativité galiléenne, car on en trouve la trace dans le célèbre Dialogue de Galilée, quoique Galilée avait supposé qu'il en était de même pour une rotation uniforme.

Une formulation plus moderne affirme que toutes les lois de la physique sont les mêmes pour deux référentiels d'espace en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre. C'est cette formulation forte qui est à la base de la relativité restreinte.

Remarque : Le référentiel héliocentrique est (généralement considéré comme) galiléen et c'est dans ce référentiel que sont étudiés les mouvements des planètes et des sondes spatiales. Considérer le référentiel géocentrique comme galiléen, alors que le centre de la Terre est en accélération autour du Soleil, revient à négliger les forces de marée. Considérer le référentiel terrestre comme galiléen revient à négliger la composante centrifuge dans la « pesanteur », et la force de Coriolis si le point matériel est en mouvement. D'une façon pragmatique, savoir trouver à quel degré d'approximation un référentiel peut être (considéré comme) galiléen est une quête sans cesse repoussée.

[modifier] Histoire et épistémologie

[modifier] Contexte historique

Isaac Newton a énoncé ses lois dans le premier volume de son Philosophiae Naturalis Principia Mathematica en 1687 et, à l'aide des nouveaux outils mathématiques qu'il a développé, il a prouvé beaucoup de résultats au sujet du mouvement des particules idéalisées.

Certains détracteurs de Newton disent qu'il s'est inspiré des travaux de Galilée pour écrire son premier principe (en reprenant presque l'énoncé de Galilée : « Tout corps continuera dans son mouvement de ligne droite ad eternam s'il n'est soumis à aucune force », en rajoutant toutefois la notion d'uniformité du mouvement).

Il convient de nuancer: si Newton avait connaissance des travaux de Galilée, son rôle a été de formaliser les idées de Galilée et d'en tirer les conséquences qui ont permis de construire la mécanique. Quand Newton affirme «Si j'ai vu plus loin que les autres, c'est parce que j'ai été porté par des épaules de géants», le lecteur averti est sensé comprendre que le travail s'inscrit dans la continuité de celui de Galilée. En fait, on pourrait même dire que Newton n'a pas précisé que le principe d'inertie et le principe de relativité, sur lesquels il s'est basé pour construire toute la mécanique, ont été édictés par Galilée, tout simplement parce qu'il estime que le lecteur est sensé le savoir!

Les deux premiers volumes sont mathématiques. Dans le troisième volume, la philosophie naturelle (ancienne dénomination de la physique des phénomènes naturels) est expliquée : il a montré comment ses lois du mouvement combinées à sa loi universelle de la gravitation expliquent le mouvement des planètes et permettent de dériver les lois de Kepler.

En 1905 la théorie de la relativité restreinte d'Albert Einstein montre que la notion de temps absolu, est un concept qui ne donne des résultats corrects qu'aux vitesses beaucoup plus petites que la vitesse de la lumière. Autre conséquence de la relativité restreinte, aucun corps matériel ne peut dépasser une vitesse-limite appelée c, dont on considère, jusqu'à aujourd'hui, qu'elle est égale à la célérité du photon, par définition : c = 299 792 458 m/s.

De même en 1915, en généralisant le principe de relativité, Einstein propose sa théorie de la gravitation, encore en 2005 non testée dans un laboratoire terrestre, mais vérifiée et non infirmée en astronomie, avec une précision croissante. Cette théorie propose une propagation de la gravitation à la vitesse de la lumière, évitant la propagation à vitesse infinie imposée par les équations de Newton. Cette nouvelle vision de la gravité souligne l'importance du résultat préalable admis par Newton suivant lequel l'inertie est égale à la masse gravitationelle.

Malgré tout, cet édifice des principes reste un monument de la pensée humaine.Ces simples lois permettent à elles seules de construire toute la mécanique usuelle, c'est-à-dire de décrire toute la physique excepté les situations quantiques ou relativistes.

La prédiction du mouvement des planètes par les équations de Newton était remarquable. Et en tenant compte des interactions des planètes, la seule aberration par rapport à la réalité était le petit résidu de 43" d'arc par siècle pour l'avance du périhélie de Mercure, et il a fallu la relativité générale pour l'expliquer.

Et dans la vie commune des faibles vitesses (autre donc que l'architecture « relativiste » des bâtiments du LHC, au CERN), on se satisfait bien de ces lois du mouvement d'usage pratique.

Et, dès que l'on veut la précision ultime (par exemple, une meilleure précision des systèmes de positionnement global, GPS ou Galileo), alors on sait qu'il faut corriger légèrement Newton par Einstein (« les géants s'épaulent... » !), ou par Heisenberg quand on étudie les atomes.

[modifier] Epistémologie

Les lois sus-citées ont été mises en forme et édictées par Newton. Mais les fondements proviennent de travaux antérieurs : Galilée, Torricelli, Descartes, Huygens, Hooke,… « J'ai été porté par des épaules de géants » reconnaissait lui-même Newton.

Comme l'a fait remarquer Ernst Mach dans son ouvrage La mécanique. Exposé historique et critique de son développement^[4], la première loi est en réalité une tautologie (tout sauf inutile !) de la définition IV des Principia, laquelle introduit la notion de force, fondamentale en physique :

La force imprimée (vis impressa) est l'action par laquelle l'état du corps est changé, soit que cet état soit le repos, ou le mouvement uniforme en ligne droite.^[1]

Donc, on peut donner à cette définition la valeur de première loi. L'expression choisie par Newton peut s'expliquer précisement par un souci de reprendre le travail de Galilée.

Mais on peut aller encore plus loin : la conservation de la quantité de mouvement de systèmes peut être érigée en principe premier de la mécanique. Cette démarche présente l'avantage de reposer sur un concept, la quantité de mouvement, permet de traiter des problèmes de mouvements relativistes.

De plus la troisième loi permet d'introduire le concept d'interaction absolument non trivial mais elle aussi fondamentale en physique. A l'époque, cette loi est une absurdité, si l'on se réfère par exemple au point de vue d'Aristote chez qui la magie et autres actions à distance n'existent pas dans le cadre de la physique. Rappelons que le magnétisme est interprété depuis le de Magnete de Gilbert par des « lignes spectrales », ou tourbillons. De même, la cause de la gravitation est interprétée par Descartes via une théorie (fausse) de tourbillons, si contradictoire que même Huygens n'y croît plus. Par contre, Newton déclarera dans une phrase restée célèbre : hypotheses non fingo, je ne chercherai pas la cause ultime de la gravitation. La gravitation « s'exprime » au travers de la loi centripète qu'il énonce, il ne fait aucune supposition sur la nature de cette force.

Newton sortait donc hardiment hors du cadre imposé par la physique de l'époque, d'où une critique véhémente, l'action instantanée à distance étant récusée (elle génait d'ailleurs à Newton lui-même), comme insensée (Rømer venait de montrer la finitude de la célérité de la lumière). En 1915, Einstein proposera une hypothèse moins choquante : la gravitation se propage, à la vitesse limite c.

[modifier] Problèmes et limites

[modifier] Univers absolu

Newton avait postulé : il existe un espace et un temps absolu.

En fait, on pouvait étendre à toute une classe de référentiels dits « inertiels » la notion d'espace absolu : quête sans fin, mais de plus en plus précise. Si aucun référentiel usuel n'est parfaitement inertiel, on peut du moins prouver qu'ils existent. Mais Newton a eu tort de ne pas croire entièrement Galilée qui défendait l'équivalence entre un référentiel et un autre évoluant à vitesse constante par rapport au premier.

Par contre, Newton se méfiait du temps absolu : il savait qu'en changeant l'échelle de temps, l'expression de son PFD changeait. Il l'a même savemment utilisé. Mais évidemment, il fallait prendre une décision : quelle échelle de temps choisir ? Ce qui paraissait le plus simple était la fameuse loi de Kepler. Et tout était cohérent.

Les notions de temps relatif, de finitude des vitesses, de synchronisation et de transport du temps allaient nécessiter encore beaucoup de découvertes avant d'être entrevues. Il a donc opté pour le temps dynamique absolu et édicté : le temps absolu s'écoule uniformément. C'est cette variable t qui intervient quand on écrit

,

puis

.

Ce temps absolu est généralement admis tant qu'on n'emploie pas la relativité restreinte. Mais il constitue néanmoins une hypothèse philosophique forte qui a été régulièrement discutée par Leibniz notamment qui disait :

« J'ai marqué plus d'une fois que je tenais l'espace pour quelque chose de purement relatif, comme le temps ; pour un ordre de coexistences comme le temps est un ordre de successions… »

[modifier] Limites relativistes

Une des grandes difficultés des théories de Newton, mise à jour dès le XVII^e siècle est la notion d'action instantanée à distance. Newton lui-même était gêné par cette supposition présente tout aussi bien dans sa théorie de la gravitation que dans sa troisième loi. Plus tard au cours du XVII^e siècle un certains nombres de difficultés, concernant l'électromagnétisme notamment, indiquèrent également que les principes de Newton ne pouvait pas rendre compte en l'état de tous les problèmes mécanique ou cinématique.

La relativité restreinte postule aujourd'hui qu'aucune interaction ne se propage plus vite que la vitesse de la lumière et remet donc définitivement en cause les interactions spontanées. De plus elle montre que pour des objets dont la vitesse est proche de celle de la lumière les lois de Newton ne sont plus qu'approchées. En fait, les formules de la relativité restreinte permettent de considérer la physique newtonnienne comme une approximation ou supposant c infinie.

Ainsi les lois de Newton ne sont pas réfutées par Einstein, au contraire, la relativité permet de justifier les équations de Newton dans les cas de faibles vitesses en la rendant démontrable à partir d'une théorie plus générale qui l'englobe.

D'autre part même en relativité restreinte, les forces respectent toujours un théorème de la quantité de mouvement mais adapté, faisant apparaître le facteur de Lorentz). Le théorème de la quantité de mouvement est donc un théorème très puissant, puisqu'il permet de déduire les lois de Newton dans le cas où les faibles vitesses le permettent. Dans le cas contraire il s'incrit dans les résultats de la relativité restreinte.

Il serait bien sûr absurde de dire que les lois de Newton sont fausses. La chute d'un corps sur Terre est un cas où les corrections apportées par la relativité sont minimes, comme pour la plupart des applications quotidiennes de la mécanique classique.

En revanche, une situation où les résultats sont radicalement modifiés est celle, par exemple, de l'accélérateur de particules du CERN. L'énergie cinétique apportée à une particule de charge q par une tension V vaut qV. Avec le TeraVolt (1 000 milliards de volts) du CERN, on trouve classiquement pour un électron une vitesse 2 000 fois supérieure à la vitesse de la lumière. La vitesse réelle, calculée dans le cadre relativiste est celle de la lumière diminuée de quelques microns/seconde. Il est donc essentiel de bien distinguer les situations où les lois de Newton sont valables de celles où elles ne sont plus utilisables.

[modifier] Limites quantiques

A écrire ...

[modifier] Déterminisme et démonstration des lois de Newton

[modifier] Approche de Laplace et de Noether

Les lois de Newton peuvent être construites à partir de thèses plus abstraites.

Les lois de Newton ont subi l'analyse critique de Laplace, puis Mach, puis Poincaré, puis de Kolmogorov.

Selon leur analyse le principe fondamental de la dynamique peut être ramené à une conséquence du déterminisme énoncée par Laplace dans son traité sur les probabilités :

si on connaît la position initiale x₀ et la vitesse initiale v₀ , alors l'équation du principe fondamental de la dynamique (PFD) dit que, la force étant F(x, v, t), il suffit de résoudre cette équation différentielle, pour déterminer le futur et le passé de la particule, x(t) et v(t).

Ainsi l'orbite hamiltonienne de l'électron dans le plan des phases [x(t), p(t)] est déterminée par le PFD. C'est tout ce qu'affirme ce principe, puisque, par ailleurs, il faut trouver expérimentalement la loi F(x, v, t).

Même si le déterminisme tel que le définit Laplace souffre de limites, il est tout de même possible de montrer que le théorème de la quantité de mouvement repose sur les principes mêmes de la physique: c'est en effet une conséquence du Théorème de Noether.

[modifier] Remarque sur le chaos déterministe

[modifier] Notes