Espace vectoriel

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En mathématiques, un espace vectoriel est un ensemble d'éléments - dénommés vecteurs - possédant un ensemble de propriétés axiomatiques intéressantes.

Le concept d'espace vectoriel est lié à la généralisation des vecteurs géométriques, c'est l'objet de base de l'algèbre linéaire.

[modifier] Définition

Un espace vectoriel E sur un corps (commutatif) $\mathbb{K}$ - ou plus précisément ( $\mathbb{K}$ , +, • ) - est un ensemble d'éléments - dénommés vecteurs - muni de deux lois, l'une interne notée « + » (attention à ne pas la confondre avec la première loi du corps $\mathbb{K}$ ), et l'autre externe notée « • », qui vérifient les propriétés suivantes (appelées aussi axiomes) :

la loi interne « + » permet à ( E, + ) d'être un groupe commutatif, c'est-à-dire :
- la loi « + » est associative :
  
  $\forall\, \vec u \in E , \ \forall\, \vec v \in E , \ \forall\, \vec w \in E , \ ( \vec u + \vec v ) + \vec w = \vec u + ( \vec v + \vec w ) \,$
- la loi « + » est unifère, elle a un élément neutre :
  
  $\exists\, \vec e \in E , \ \forall\, \vec u \in E , \ \vec e + \vec u = \vec u + \vec e = \vec u \,$ . Cet élément $\vec e$ est unique, on le note $\vec 0$ .
- la loi « + » est symétrisable, tout élément de E a un opposé :
  
  $\forall\, \vec u \in E , \ \exists\, \vec v \in E\, /\, \ \vec u + \vec v = \vec v + \vec u = \vec 0 \,$ . Ce vecteur $\vec v$ est unique pour un $\vec u$ spécifié. On le note $(-\vec u)$ .
- la loi « + » est commutative :
  
  $\forall\, \vec u \in E , \ \forall\, \vec v \in E , \ \vec u + \vec v = \vec v + \vec u \,$

la loi externe « • » est une application (noté aussi ) qui permet à d'opérer sur E, selon les quatre axiomes suivants :
- l'élément unité « 1 » du corps $\mathbb{K}$ est neutre à gauche pour la loi « • » :
  
  $\forall\, \vec u \in E , \ 1 \cdot \vec u = \vec u \,$
- la loi « • » est distributive à gauche par rapport à l'addition de E :
  
  $\forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall\, \vec u \in E , \ \forall\, \vec v \in E , \ \lambda \cdot ( \vec u + \vec v ) = ( \lambda \cdot \vec u ) + ( \lambda \cdot \vec v ) \,$
- la loi « • » est exodistributive à droite par rapport à l'addition du corps $\mathbb{K}$ :
  
  $\forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall\, \mu \in \mathbb{K} , \ \forall\, \vec u \in E , \ ( \lambda + \mu ) \cdot \vec u = ( \lambda \cdot \vec u ) + ( \mu \cdot \vec u ) \,$
- la loi « • » est exoassociative par rapport à la multiplication du corps $\mathbb{K}$ ( elle l'« importe » dans l'espace vectoriel) :
  
  $\forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall\, \mu \in \mathbb{K} , \ \forall\, \vec u \in E , \ ( \lambda \cdot \mu ) \cdot \vec u = \lambda \cdot ( \mu \cdot \vec u ) \,$

On appelle les éléments de $\mathbb K$ des scalaires, par opposition aux éléments de E, appelés vecteurs ; en particulier, $\vec 0$ est le vecteur nul.

Étant donnés un scalaire $\ \lambda$ et un vecteur $\vec u$ , le vecteur $\lambda \cdot \vec u$ , souvent noté $\lambda\, \vec u$ , est appelé produit de ce scalaire et de ce vecteur.

Remarque : la loi « • » devrait en réalité vérifier 6 axiomes : 3 pour régler ses rapports avec les 3 autres lois impliquées, et 3 pour régler son comportement vis-à-vis de leurs 3 éléments neutres. Cependant, seuls quatre de ces six axiomes sont indépendants entre eux. Les deux « axiomes » suivants se déduisent en fait des précédents :

l'élément zéro « 0 » du corps $\mathbb{K}$ est exoabsorbant à gauche pour la loi « • » :

$\forall\, \vec u \in E , \ 0 \cdot \vec u = \vec 0 \,$
l'élément neutre de l'addition vectorielle est absorbant à droite pour la loi « • » :

$\forall\, \lambda \in \mathbb{K} , \ \lambda \cdot \vec 0 = \vec 0 \,$

Notations : on a désigné ci-dessus les vecteurs par des lettres latines surmontées d'une flèche. Cette notation, héritée du calcul vectoriel élémentaire (vecteurs du plan ou de l'espace), n'est pas usuelle en algèbre linéaire, compte tenu de la grande diversité des situations. En effet, on verra que les vecteurs peuvent être des applications, des polynômes, des matrices, etc. qu'il n'est pas habituel de noter ainsi.

On abandonne donc cette notation dans la suite de l'article. On désignera le plus souvent les vecteurs par des minuscules latines (u, v, etc.) et les scalaires par des minuscules grecques (α, β, λ, etc.). En particulier, on notera 0 le vecteur nul d'un espace vectoriel E (il n'y a pas de risque de confusion avec le scalaire nul) ; si l'on tient à faire la distinction, on pourra désigner par $0 E$ le vecteur nul de E.

Terminologie : un espace vectoriel sur $\mathbb{Q}$ (respectivement : sur $\mathbb{R}$ , sur $\mathbb{C}$ ) sera également appelé espace vectoriel rationnel (respectivement : espace vectoriel réel, espace vectoriel complexe).

Quelques propriétés élémentaires : soient un scalaire $\ \lambda$ et deux vecteurs $u,\, v$ de E :

$\ (-1)\, u = -u$
lorsque $\ \lambda \neq 0$ , $\ v = \lambda\, u \iff u = \frac{1}{\lambda}\, v$
si $\ \lambda\, u = 0_E$ , alors $\ \lambda = 0$ ou (inclusif) $\ u = 0_E$

[modifier] Exemples

Le corps lui-même, muni de sa loi d'addition et de multiplication par un scalaire.
- élément neutre pour l'addition : 0

Le produit cartésien (ensemble des n-listes ou n-uplets d'éléments de ) muni des lois :
- $+ :((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n))\in\mathbb{K}^n\times\mathbb{K}^n \mapsto (x_1+y_1,...,x_n+y_n)$
- $\cdot:(\lambda,(y_1,...,y_n))\in\mathbb{K}\times\mathbb{K}^n \mapsto (\lambda\, y_1,...,\lambda\, y_n)$
- neutre pour l'addition : $(0,...,0)$ , la n-liste dont tous les éléments sont nuls

l'ensemble des polynômes à coefficients dans . Les lois « + » et « • » sont définies par :

si $P=\sum_{k=0}^{n}a_k X^k$ et $Q=\sum_{k=0}^{p}b_k X^k$ , $\ p\leq n$ :
- $+:(P,Q)\in\mathbb{K}[X] \times \mathbb{K}[X] \mapsto P+Q=\sum_{k=0}^{n}(a_k+b_k) X^k$
- $\cdot:(\lambda,Q)\in\mathbb{K} \times \mathbb{K}[X] \mapsto \lambda\, Q=\sum_{k=0}^{n}(\lambda\, b_k) X^k$
- neutre pour l'addition : le polynôme nul, celui dont tous les coefficients sont nuls

l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes. Les lois « + » et « • » sont définies par :

si $\ A=(a_{ij})_{i \in [[1,n]], j \in [[1,p]] }$ et $\ B=(b_{ij})_{i \in [[1,n]], j \in [[1,p]] }$ :
- $+:(A,B)\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \times \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \mapsto A+B=(a_{ij}+b_{ij})$
- $\cdot:(\lambda,B)\in\mathbb{K} \times \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \mapsto \lambda\, B=(\lambda\, b_{ij})$
- neutre pour l'addition : la matrice nulle, celle dont tous les coefficients sont nuls

l'ensemble des applications définies sur un ensemble quelconque (non vide) D, et à valeurs dans un espace vectoriel E sur . Les lois « + » et « • » sont définies par :

si $\ f \in \mathcal{A}$ , $\ g \in \mathcal{A}$ et $\ \lambda \in \mathbb{K}$ , on pose pour tout $\ x \in D$ , $\ s(x) = f(x) + g(x)$ , $\ p(x) = \lambda\, f(x)$ :
- $+:(f,g)\in \mathcal{A} \times \mathcal{A} \mapsto f+g=s$
- $\cdot:(\lambda,f)\in\mathbb{K} \times \mathcal{A} \mapsto \lambda\, f=p$
- neutre pour l'addition : l'application nulle, celle qui envoie tout élément de D sur le vecteur nul de E

l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire...

l'ensemble des formes n-linéaires alternées est un espace vectoriel de dimension 1. C'est un résultat à la base de la théorie du déterminant.

[modifier] Combinaisons linéaires

Soient $I$ un ensemble, $(\lambda_i)_{\,i\,\in\, I}$ une famille de scalaires indexée par $I$ , tous nuls, sauf un nombre fini d'entre eux, et $(x_i)_{\,i\,\in\, I}$ une famille de vecteurs de $E$ , également indexée par $I$ .

La combinaison linéaire de la famille de vecteurs $(x_i)_{\,i\,\in\, I}$ ayant pour coefficients $(\lambda_i)_{\,i\,\in\, I}$ est le vecteur de $E$ noté $\sum_{\,i\,\in\, I}\lambda_i\, x_i$ , et égal par définition à $\sum_{\,i\,\in\, J}\lambda_i\, x_i$ , où $\ J = \left\{ i \in I\, /\, \lambda_i \neq 0\right\}$

(l'ensemble $I$ peut fort bien être infini ; mais $J$ est fini par hypothèse, ce qui donne un sens à la définition, puisqu'on ne sait définir la somme que pour un nombre fini de vecteurs. Lorsque les coefficients sont tous nuls, on convient que la combinaison linéaire est nulle).

Cas particulier usuel : si $I$ est un ensemble fini à $m$ éléments ( $m\geq 1$ ), par exemple l'ensemble des entiers naturels compris entre $1$ et $m$ , les combinaisons linéaires sont les vecteurs pouvant s'écrire : $\sum_{i = 1}^m \lambda_i\, x_i$ , ou encore $\lambda_1\, x_1 + \cdots + \lambda_m\, x_m$ .

Un espace vectoriel $E$ est par définition stable par combinaisons linéaires (toute combinaison linéaire de vecteurs de $E$ est un vecteur de $E$ ).

[modifier] Sous-espaces vectoriels

Voir l’article Sous-espace vectoriel.

Un sous-espace vectoriel F est un sous-ensemble de E tel que les lois « + » et « • » appliquées aux éléments de F font de celui-ci un espace vectoriel, c'est-à-dire que F est un sous-ensemble de E stable pour les lois « + » et « • » restreintes à F.

Exemple : l'ensemble des suites réelles convergentes est un sous espace vectoriel de l'ensemble des suites réelles.

[modifier] Familles libres, familles génératrices, bases

Voir l’article Famille (mathématiques).

Une famille issue d'un espace vectoriel E est une « collection » de vecteurs de E.

[modifier] Familles libres, familles liées

[modifier] Définitions

Une famille $\mathcal{L}$ d'éléments de E est dite libre (sur $\mathbb{K}$ ) lorsque toute combinaison linéaire d'éléments de $\mathcal{L}$ à coefficients non tous nuls est non nulle, autrement dit lorsque la seule combinaison linéaire nulle d'éléments de $\mathcal{L}$ est celle dont tous les coefficients sont nuls ; on dit aussi dans ce cas que les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants.
Une famille d'éléments de E est dite liée lorsqu'elle n'est pas libre ; cela signifie qu'il existe une combinaison linéaire nulle des éléments de cette famille à coefficients non tous nuls (c'est ce qu'on appelle une relation de dépendance linéaire).

[modifier] Propriété

Une famille d'éléments de E est liée si et seulement si l'un de ses éléments peut s'exprimer comme combinaison linéaire des autres.

On peut donc interpréter la liberté d'une famille comme une condition de minimalité, puisqu'une famille liée est caractérisée par le fait d'avoir au moins un élément « redondant ».

Une famille d'un seul vecteur non nul est toujours libre.

[modifier] Nota

Il résulte de la première propriété qu'une famille $\ (u_1,\, u_2)$ de deux vecteurs de E est liée si et seulement s'il existe un scalaire $\ \alpha$ tel que $\ u_2 = \alpha\, u_1$ ou un scalaire $\ \beta$ tel que $\ u_1 = \beta\, u_2$ . On dit dans ce cas que les deux vecteurs sont colinéaires.

Autrement dit, une famille de deux vecteurs de E est libre si et seulement si ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

On prendra garde au fait que la propriété précédente ne s'étend pas à des familles ayant plus de deux éléments. Même si on ne peut pas y trouver deux vecteurs colinéaires, on ne peut pas affirmer que la famille soit libre.

[modifier] Familles génératrices

[modifier] Définition

Une famille d'éléments de E est dite génératrice (de E) lorsque tout élément de E peut s'exprimer d'au moins une manière sous la forme d'une combinaison linéaire des éléments de cette famille.

C'est une condition de maximalité, car cela signifie que la famille porte en elle suffisamment d'information pour reconstituer tout l'espace.

[modifier] Bases

[modifier] Définition

On appelle base de l'espace vectoriel E toute famille d'éléments de E libre et génératrice.

Une base est donc assez grande pour engendrer l'espace, mais pas trop pour ne pas faire apparaître de relations entre ses éléments.

[modifier] Propriété et définition

Une famille $\mathcal{B}$ d'éléments de E en est une base si et seulement si tout élément u de E s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de $\mathcal{B}$ .
Les coefficients de cette combinaison linéaire sont alors appelés les composantes de u en base $\mathcal{B}$ .

Nota : on démontre au moyen de l'axiome du choix que tout espace vectoriel non réduit à $\ \{0\}$ admet au moins une base ; mais, en dehors du cas des espaces vectoriels de dimension finie (voir ci-dessous), on est le plus souvent dans l'incapacité d'expliciter une base.

[modifier] Espaces vectoriels de dimension finie

[modifier] Théorème de la dimension

Si un espace vectoriel E admet une base ayant un nombre fini d d'éléments, alors toute base de E a ce même cardinal d.
L'entier d est appelé la dimension de E, notée $\dim_{\mathbb{K}} E$ , ou s'il n'y a pas d'ambiguïté, $\dim E$ .

On dit alors que E est un espace vectoriel de dimension finie (sur $\mathbb{K}$ ), égale à d.
On convient qu'un espace vectoriel réduit à $\ \{0\}$ (et qui n'a donc pas de base) est de dimension finie, égale à 0.

[modifier] Cas particuliers

On appelle droite vectorielle tout espace vectoriel de dimension finie égale à 1.
On appelle plan vectoriel tout espace vectoriel de dimension finie égale à 2.

[modifier] Propriété

Un espace vectoriel E est de dimension finie si et seulement s'il admet une famille génératrice ayant un nombre fini d'éléments.

[modifier] Propriété

Soit E un espace vectoriel de dimension finie (non nulle) égale à n. Alors :

toute famille génératrice de E a au moins n éléments ; si une famille génératrice de E a n éléments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les familles génératrices minimales)
toute famille libre de E a au plus n éléments ; si une famille libre de E a n éléments, c'est une base de E (on dit que les bases sont les familles libres maximales).

[modifier] Théorème de la base incomplète

Soient E un espace vectoriel de dimension finie n strictement supérieure à 1, et $\ (u_1, \dots, u_p)$ une famille libre de vecteurs de E telle que $\ p < n$ (autrement dit, une famille libre qui n'est pas une base : elle n'est pas maximale).

Alors, il existe $\ n - p$ vecteurs de E, qu'on peut noter $\ (u_{p + 1}, \dots, u_n)$ , tels que la famille $\ (u_1, \dots, u_n)$ soit une base de E.

On dit qu'on a complété la famille libre $\ (u_1, \dots, u_p)$ en une base de E.

[modifier] Sous-espaces vectoriels en dimension finie

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Alors :

tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie, et dim F ≤ dim E
si F est un sous-espace vectoriel de E tel que dim F = dim E, alors F = E.

Nota : ce théorème fournit une méthode importante pour montrer que deux sous-espaces vectoriels de dimension finie F, G d'un même espace vectoriel E sont égaux. Il suffit pour cela de prouver que l'un des deux est inclus dans l'autre, et qu'ils ont la même dimension.

[modifier] Formule de Grassmann

Soient E un espace vectoriel de dimension finie, et $F_1,\, F_2$ deux sous-espaces vectoriels de E. Alors :

$\dim (F_1 + F_2) + \dim(F_1 \cap F_2) = \dim F_1 + \dim F_2$ .

Nota : les espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie sont dits de dimension infinie (cf. les exemples en fin d'article). Pour qu'un espace vectoriel E soit de dimension infinie, il faut et il suffit qu'il existe une famille libre infinie d'éléments de E.

[modifier] Espace dual

Voir l’article Espace dual.

L'espace dual d'un espace vectoriel est l'espace vectoriel des formes linéaires sur E. L'espace dual de E est noté E^*.

En dimension finie, un espace et son dual sont de même dimension. Par contre, en dimension infinie, on a uniquement $\dim E \le \dim E^*$ .

[modifier] Exemples d'espaces (et de sous-espaces) vectoriels

On note $\mathbb{K}$ un corps (commutatif).

On a vu plus haut que l'ensemble $\mathbb{K}^n$ des n-listes (ou n-uplets) d'éléments de $\mathbb{K}$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ .

Si, pour tout entier k compris entre 1 et n, on définit la n-liste $\ e_k$ dont tous les éléments sont nuls, sauf le k-ième, égal à 1, alors la famille $\mathcal{B} = (e_1,\, \dots,\, e_n)$ est une base de $\mathbb{K}^n$ , appelée base canonique.

Tout vecteur $u = (x_1,\, \dots,\, x_n) \in \mathbb{K}^n$ se décompose dans cette base sous la forme $u = x_1\, e_1 + \cdots + x_n\, e_n$ : les composantes de u en base canonique sont $x_1,\, \dots,\, x_n$ . Ainsi, l'espace vectoriel $\mathbb{K}^n$ est de dimension finie égale à n.

En particulier, l'ensemble $\mathbb{R}^n$ des n-listes de réels est un espace vectoriel réel de dimension n.

Considérons les quatre ensembles suivants :

L'ensemble $\mathbb R^{\mathbb N}$ des suites réelles (les applications définies sur $\mathbb{N}$ , à valeurs dans $\mathbb{R}$ )

l'ensemble $\mathcal{C}$ des suites réelles convergentes

l'ensemble $\mathcal{N}$ des suites réelles qui convergent vers 0

l'ensemble $\mathbb{\R}^{(\mathbb{N})}$ des suites réelles à termes tous nuls à partir d'un certain rang

On sait que $\mathbb R^{\mathbb N}$ est un espace vectoriel réel, et l'on vérifie que les trois autres ensembles en sont des sous-espaces vectoriels ; on a les inclusions suivantes : $\mathbb{\R}^{(\mathbb{N})} \subset \mathcal{N} \subset \mathcal{C} \subset \mathbb R^{\mathbb N}$ .

Ces quatre espaces vectoriels sont tous de dimension infinie : pour le justifier, il suffit de prouver que $\mathbb{\R}^{(\mathbb{N})}$ est de dimension infinie.

Pour cela, on définit, quel que soit $i \in \mathbb{N}$ , la suite $\ e_i$ dont les termes (réels) sont tous nuls, à l'exception du terme d'indice i, égal à 1 : la famille $(e_i)_{\, i\, \in\, \mathbb{N}}$ est une famille libre infinie de vecteurs de $\mathbb{\R}^{(\mathbb{N})}$ (c'en est même une base) ; ceci établit la propriété annoncée.

On a vu plus haut que l'ensemble $\mathbb{K}[X]$ des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ ; la famille $(X^k)_{\,k\, \in\, \mathbb{N}}$ est une base, appelée base canonique, de cet espace vectoriel : les composantes d'un polynôme dans cette base sont ses coefficients. Ainsi, l'espace vectoriel $\mathbb{K}[X]$ est de dimension infinie.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , l'ensemble $\mathbb{K}_n[X]$ des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ , et de degré inférieur ou égal à n, est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}[X]$ , de dimension n + 1, car la famille $\ (X^0, \, \dots,\, X^n)$ est une base de ce sous-espace vectoriel.

Une autre base de $\mathbb{K}_n[X]$ est la famille $\ (\ell_0,\, \dots,\, \ell_n)$ des polynômes de Lagrange associés à une (n+1)-liste $(x_0, \dots,\, x_n)$ de scalaires deux à deux distincts. Les composantes d'un élément P de $\mathbb{K}_n[X]$ dans cette base sont $P(x_0), \dots,\, P(x_n)$ .

On sait que l'ensemble des fonctions définies sur un intervalle I à valeurs dans $\mathbb{R}$ est un espace vectoriel réel ; l'ensemble des fonctions continues sur I à valeurs dans $\mathbb{R}$ , l'ensemble des fonctions dérivables sur I à valeurs dans $\mathbb{R}$ , en sont des sous-espaces vectoriels.

Ils sont tous de dimension infinie. En effet, pour tout $i \in \mathbb{N}$ , soit la fonction $\ e_i : I \to \R,\, x \mapsto x^i$ ; alors, la famille $(e_i)_{\, i\, \in\, \mathbb{N}}$ est une famille libre infinie de vecteurs appartenant à chacun des ces trois espaces vectoriels, ce qui établit la propriété annoncée.

Soient un corps (commutatif) et un sous-corps. L'ensemble , muni de l'addition des éléments de et du produit par un élément de , est un espace vectoriel sur . Donnons-en deux exemples :
- l'ensemble $\mathbb{C}$ , muni de l'addition des complexes et du produit par un réel, est un espace vectoriel réel. La famille (1, i) est une base de cet espace vectoriel, puisque tout nombre complexe z s'écrit de manière unique z = x 1 + y i, où x, y sont deux réels ; l'espace vectoriel $\mathbb{C}$ est donc de dimension 2 sur $\mathbb{R}$ : $\dim_{\mathbb{R}} \mathbb{C} = 2$ .
- l'ensemble $\mathbb{R}$ , muni de l'addition des réels et du produit par un rationnel, est un espace vectoriel rationnel. Il est de dimension infinie sur $\mathbb{Q}$ : on va le prouver en montrant l'existence d'une famille infinie de réels qui est libre sur $\mathbb{Q}$ .
  
  En effet, on sait qu'il existe dans $\mathbb{R}$ des nombres transcendants (tels que $π$ ou la base $e$ des logarithmes népériens) : ce sont par définition des réels qui ne sont racines d'aucun polynôme à coefficients rationnels autre que le polynôme nul.
  
  Si x est un réel transcendant, alors la famille infinie $\left(x^i\right)_{\, i\, \in\, \mathbb{N}}$ des puissances de x est libre sur $\mathbb{Q}$ : dans le cas contraire, on pourrait trouver $n \in \mathbb{N}$ , et des rationnels $\alpha_0, \dots, \alpha_n$ non tous nuls, tels que $\sum_{k=0}^n \alpha_k\, x^k = 0$ ; cela signifierait que x est racine du polynôme non nul $P = \sum_{k=0}^n \alpha_k\, X^k \in \mathbb{Q}[X]$ , et contredirait la transcendance de x.