Produit vectoriel
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Le produit vectoriel est le résultat d'une multiplication vectorielle dans l'espace euclidien orienté de dimension trois. Cette notion a été théorisée dans les années 1880 par Josiah Willard Gibbs à partir des travaux de Hermann Günther Grassmann.
Sommaire |
[modifier] Définition
Le produit vectoriel de deux vecteurs et se définit comme l'unique vecteur tel que :
- le vecteur est orthogonal aux deux vecteurs donnés,
- le repère est de sens direct,
- .
[modifier] Approche tensorielle
Soient deux vecteurs à trois composantes ui et vj. On peut définir le tenseur
qui, en notation tensorielle, s'écrit simplement :
Ce tenseur peut se décomposer en la somme de deux tenseurs, l'un complètement symétrique :
qui a 6 composantes indépendantes, et l'autre complètement anti-symétrique :
qui a 3 composantes indépendantes. On peut alors « transformer » ce tenseur anti-symétrique en un vecteur à trois composantes en utilisant le symbole de Levi-Civita (tenseur totalement anti-symétrique) :
(selon la convention de sommation d'Einstein, on somme sur i et sur j dans la formule ci-dessus). Le vecteur zk est le produit vectoriel de ui et vj.
On voit que si l'on échange les indices i et j, le signe change. De fait, en physique, lorsqu'une grandeur est le produit vectoriel de deux vecteurs, elle est souvent qualifiée de « pseudo-vecteur » (c'est le problème de l'image du système dans un miroir).
[modifier] Notation
Plusieurs notations sont en concurrence pour le produit vectoriel. On utilise spécialement en France le V renversé () initié par Cesare Burali-Forti, mais qui a le gros défaut d'être en conflit avec la notation du produit extérieur. La notation par une croix ( ), due à Josiah Willard Gibbs, a le défaut d'être en conflit avec le produit des réels ou le produit cartésien.
Voici quelques exemples de notation:
- en France et dans les pays francophones en général;
- dans les pays anglophones et hispanophones, en Allemagne, Chine, Japon, Canada (y compris francophone), Corée, Vietnam etc;
- en Russie;
- en Ukraine.
[modifier] Propriétés
Le produit vectoriel :
- est distributif sur l'addition :
- ,
- est compatible avec la multiplication par un scalaire :
- ,
- est anticommutatif :
- est non associatif :
- satisfait l'identité de Jacobi :
Ces propriétés montrent que muni du produit et de l'addition vectoriels forment une algèbre de Lie.
D'autre part, il satisfait aux identités de Lagrange :
Dans une base orthonormée directe :
En partant de l'identité algébrique :
- ,
on peut démontrer facilement l'égalité (aussi appelée Identité de Lagrange) :
que l'on peut aussi écrire sous la forme :
ce qui équivaut à l'identité trigonométrique :
- ,
et qui n'est rien d'autre qu'une des façons d'écrire le théorème de Pythagore.
D'après la définition du produit vectoriel, le sinus de l'angle formé par deux vecteurs est égal à :
Ainsi, si les vecteurs sont colinéaires, , alors l'angle entre eux est nul et la multiplication vectorielle donne le vecteur nul :
- .
Si les vecteurs et ont même origine, la norme est égale à l'aire du parallélogramme construit sur et , car l'aire du parallélogramme est le produit de sa hauteur par un des côtés, et sa hauteur est égale au produit de l'autre côté par le sinus de l'angle.
[modifier] Applications
- On définit l'opérateur rotationnel comme suit :
- Cet opérateur est utilisé dans le théorème de Stokes.
- En mécanique du solide c'est une opération très employée notamment dans la relation de Varignon qui lie les deux champs vectoriels d'un torseur.
- les lois de Maxwell sur l'électromagnétisme s'expriment à travers l'opérateur rotationnel.
[modifier] Voir aussi
Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre linéaire |
Espace vectoriel | Base | Dimension | Matrice | Application linéaire | Déterminant | Trace | Rang | Théorème des facteurs invariants | Réduction d'endomorphisme | Réduction de Jordan | Décomposition de Dunford | Valeur propre | Polynôme caractéristique | Forme linéaire | Espace dual | Orthogonalité | Produit scalaire | Produit vectoriel | Polynôme d'endomorphisme | Polynôme minimal | Tenseur | Covecteur | Algèbre multilinéaire |
Modifier |