Application linéaire

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En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la multiplication scalaire définie dans ces espaces vectoriels, ou, en d’autre termes, qui « préserve les combinaisons linéaires ».

[modifier] Définitions

Soit

ƒ : E → F

une application où E et F sont deux $\mathbb K$ espaces vectoriels.

ƒ est une application linéaire (ou morphisme de $\mathbb K$ espaces vectoriels) si :

$\forall x \in E , \forall y \in E , f(x+y) = f(x) + f(y)$
$\forall \lambda \in \mathbb K, \forall x \in E, f(\lambda \cdot x) = \lambda \cdot f(x)$

Une application possédant la première propriété est dite additive, et, pour la seconde, homogène.

ƒ est un isomorphisme si :

ƒ est un morphisme
ƒ est bijective

ƒ est un endomorphisme si :

ƒ est un morphisme
F = E

ƒ est un automorphisme si :

ƒ est un endomorphisme
ƒ est bijective

Si $F = \mathbb K$ , on parle de forme linéaire.

On note

$L_{\mathbb K}(E,F)$ l’ensemble des applications linéaires de E dans F ;
$Isom_{\mathbb K}(E,F)$ l’ensemble des isomorphismes de E dans F;
$L_{\mathbb K}(E)$ l’ensemble des endomorphismes de E;
$GL_{\mathbb K}(E)$ (appelé aussi le groupe linéaire) l’ensemble des automorphismes de E.

Comme son nom l'indique, le groupe linéaire, muni de la composition, est un groupe.

[modifier] Noyau et Image

Si ƒ est une application linéaire de E dans F, on définit le noyau de ƒ, noté ker(ƒ) (kern signifie « noyau » en allemand), et l’image de ƒ, notée im(ƒ), par

$\ker(f)=\{\,x\in E:f(x)=0\,\}$

$\operatorname{im}(f)=\{\,f(x):x\in E\,\}$

ker(ƒ) est un sous-espace vectoriel de E et im(ƒ) est un sous-espace de F. La formule suivante sur les dimensions est souvent utile :

$\dim(\ker( f )) + \dim(\operatorname{im}( f )) = \dim( E ) \,$ .

Elle est aussi appelée théorème du rang .

Le nombre dim(im(ƒ)) est aussi appelé rang de ƒ et est noté rg(ƒ). Si E et F sont de dimension finie et ƒ est représenté par la matrice A, alors le rang de ƒ est égal au rang de la matrice A ; une telle applicaiton linéaire est un tenseur d'ordre 2, une fois covariant, une fois contravariant.

[modifier] Exemples

la fonction linéaire « habituelle » : $f : x \mapsto a\cdot x$ où a est un scalaire ;
les combinaisons linéaires de vecteurs
l’application dérivation :

d : $D(\mathbb{R},\mathbb{R}) \to F(\mathbb{R},\mathbb{R})$

$f\quad \mapsto\quad f'$