Vektortér

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A vektortér, másnéven lineáris tér a lineáris algebra alapvető fogalma. A vektortér eleme a szokásos geometriai vektorfogalom általánosított formája, a vektorokkal végezhető műveletek legelemibb tulajdonságait axiomatikusan definiálja. A lineáris tér a mi szokásos síkunk és terünk általánosítása több dimenziós terekre.

[szerkesztés] Definíció

A (V,T,+,·) algebrai struktúra vektortér vagy lineáris tér akkor, ha a T egy test, és értelmezve van V elemeire a testbeli számokkal való szorzás úgy, hogy V az összeadásra kommutatív csoport(más néven Abel-csoport) és disztributív az T elemeivel való szorzásra nézve. A vektortér elemeit általában félkövér betűkkel (például: $\mathbf{v,u,w}$ ) jelöljük, kézírásban pedig alulvonással.

[szerkesztés] Példák

A lineáris tér egy nagyon általános fogalom, rengeteg példa van rá a matematikában. Nagyon sok olyan matematikai fejezetben is megjelenik, amit szerteágazóan alkalmaznak a fizika számos területén, például funkcionálanalízis vagy éppen a differenciálgeometria, hogy csak néhányat említsünk.

a geometriából ismert szokásos vektorok halmaza a vektorok összeadására és a valós skalárral való szorzásra.
a valós számokból álló m × n-es mátrixok az valós számokkal való szorzásra. (Általánosabban egy T test elemeiből álló m × n-es mátrixok az T-el való szorzásra.)
a valós (komplex) szám-n-esek ( $\mathbb{R}^n$ ill. $\mathbb{C}^n$ ) a valós (komplex) számokkal való szorzásra.
a valós számok teste ( $\mathbb{R}$ ) a valós számokkal való szorzással (triviális vektortér)
a komplex számok teste ( $\mathbb{C}$ ) a valós számokkal való szorzással
a komplex számok teste a komplex számokkal való szorzással
az $\left[a,b\right]$ intervallumon folytonos $\mathbb{R}$ -be képező függvények a valós számokkal és a szokásos pontonkénti összeadással.
az $\left[a,b\right]$ intervallumon integrálható $\mathbb{R}$ -be képező függvények a valós számokkal és a szokásos pontonkénti összeadással.
a legfeljebb $n$ -edfokú polinomok a szokásos összeadással és skalárral való szorzással.
a valószínűségi változók a szokásos összeadással és skalárral való szorzással

[szerkesztés] Tulajdonságok, műveletek

A lineáris tereken végzett egyik legalapvetőbb művelet a lineáris kombináció, amely véges sok vektor skalárral szorzott többszörösének összeadásást jelenti. Vektorok egy halmaza lineárisan független, ha egyik eleme sem fejezhető ki a többi elemből vett lineáris kombinációval. Ha vektorok egy G halmazából vett lineáris kombinációkkal a lineáris tér minden eleme előállítható, akkor G-t generátorrendszernek nevezzük. Ha egy generátorrendszer lineárisan független, akkor az a lineáris tér egyik bázisát adja. Egy lineáris tér bázisának elemeinek számossága egyértelmű, és a tér dimenzióját adja meg, amely lehet véges vagy végtelen. Ha egy lineáris tér részhalmaza olyan, hogy zárt a műveleteire nézve, akkor ez egy újabb lineáris tér, az eredeti vektortér altere.