Polynôme caractéristique

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En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique.
Il renferme d'importantes informations sur la matrice ou sur l'endomorphisme, comme ses valeurs propres, son déterminant et sa trace.

[modifier] Motivation

Étant donné une matrice carrée M d'ordre n, nous voulons trouver un polynôme dont les racines sont précisément les valeurs propres de M.

Si M est une matrice diagonale ou plus généralement une matrice triangulaire, alors les valeurs propres de M, λ₁, ..., λ_n sont les coefficients diagonaux de M et nous pouvons définir le polynôme caractéristique comme étant

$(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\ldots(X-\lambda_n)\quad$

Nous remarquons que ce polynôme est le déterminant ${\rm det}\left(XI_n-M\right)$ où I_n est la matrice unité.

Pour une matrice quelconque M, nous pouvons voir que si λ est une valeur propre de M, alors il existe une colonne propre V non nulle tel que MV = λV, soit (λI_n-M)V = 0 (où I_n est la matrice unité.) Puisque V est non nulle, cela implique que la matrice λI_n-M est singulière, et donc a son déterminant nul. Nous venons de démontrer que les valeurs propres de M sont des zéros de la fonction $\lambda\mapsto{\rm det}\left(\lambda I_n-M\right)$ ou des racines du polynôme ${\rm det}\left(XI_n-M\right)$ .

[modifier] Définition formelle

Soit M une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un anneau commutatif. Le polynôme caractéristique de M, noté p_M(X), est le polynôme défini par

$p_M(X)={\rm det}\left(XI_n-M\right)\quad$

où I_n désigne la matrice unité d'ordre n. p_M est bien un polynôme puisque le déterminant d'une matrice est défini comme une somme de produits.

Certains auteurs définissent le polynôme caractéristique comme étant ${\rm det}\left(M-XI_n\right)$ , mais cela n'a aucune importance puisque les deux polynômes diffèrent seulement d'un signe. Nous avons choisi l'autre définition afin que le polynôme caractéristique soit unitaire.

[modifier] Exemple

Supposons que nous voulions déterminer le polynôme caractéristique de la matrice

$M=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1& 0 \end{pmatrix}$

Nous devons calculer le déterminant de la matrice

$XI_2-M = \begin{pmatrix} X-2&-1\\ 1&X \end{pmatrix}$

et celui-ci est égal à

$(X-2)(X)-1(-1) = X^2-2X+1\quad$

Ce dernier polynôme est le polynôme caractéristique de M.

[modifier] Propriétés

Le polynôme p_M(t) est unitaire (son coefficient dominant est égal à 1) et son degré est égal à n. La propriété la plus importante des polynômes caractéristiques est que les valeurs propres de M sont exactement les racines du polynôme p_X(X) (une implication a été démontrée dans le paragraphe Motivation.) Le coefficient constant p_M(0) est égal à (-1)ⁿ fois le déterminant de M, et le coefficient de X^n-1 est égal à l'opposé de la trace de M.

Pour une matrice M d'ordre 2, le polynôme caractéristique s'exprime simplement comme

X² - tr(M)X+ det(M)

où tr(M) représente la trace de la matrice de M et det(M) le déterminant de M.

Pour une matrice A d'ordre 3, le polynôme caractéristique s'exprime simplement comme

X³ - tr(A)X² + Z(A)X - det(A)

où $Z(A)= -\frac{1}{2} (tr(A^{2}) - (tr(A))^{2}) = (a_{1,1} a_{2,2} + a_{1,1} a_{3,3} + a_{2,2} a_{3,3} ) - ( a_{2,1} a_{1,2} + a_{3,1} a_{1,3} + a_{3,2} a_{2,3})$ , avec $a i, j$ l'élèment en position (i, j) dans la matrice A.

De façon générale, à l'ordre n, seuls les termes d'ordre maximum sont intéressants, et on a:

$X^n - tr(A) \times X^{n-1} + ... + (-1)^n \times det(A)$

Le théorème de Cayley-Hamilton affirme qu'en remplaçant X par M dans p_M(X), on obtient la matrice nulle: p_M(M) = 0. Ce qui signifie que le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur de M. Par conséquent, il est possible de démontrer que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique de M.

Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. La réciproque n'est pas vraie en général : deux matrices ayant même polynôme caractéristique ne sont pas nécessairement semblables.

La matrice M et sa transposée ont le même polynôme caractéristique.

Une matrice M est semblable à une matrice triangulaire si et seulement si son polynôme caractéristique peut être complètement décomposé en produit de facteurs de degré un à coefficients dans $\mathbb{K}$ .

En fait, M est même semblable à une matrice de Jordan dans ce cas.

[modifier] Matrice compagnon

Soit $p(X)=X^n-\sum_{k=1}^n a_{n-k}X^{n-k}$ un polynôme à cœfficients dans $\mathbb{K}$ . La matrice d'ordre n

$M=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & & & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 & 1 \\ a_0 & a_1 & a_2 & \ldots &a_{n-2} & a_{n-1} \end{pmatrix}$

qui admet p(X) comme polynôme caractéristique (et polynôme minimal), est appelée matrice compagnon du polynôme (ou selon certains ouvrages, sa transposée). Une des méthodes utilisées en calcul numérique pour calculer des valeurs approchées des racines d'un polynôme est d'en construire la matrice compagnon puis de calculer des valeurs approchées des valeurs propres de cette matrice à l'aide d'une méthode itérative.