Groupe abélien

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En algèbre générale, un groupe abélien est un groupe (G, *) qui est commutatif, i.e., dans lequel pour tous éléments a et b de G a * b = b * a.

* étant la loi de composition interne de G.

Les groupes abéliens portent le nom de Niels Henrik Abel.

Si un groupe est abélien, alors nous notons habituellement :

• l'opération additivement + à la place de *,
• l'élément neutre 0 (souvent appelé élément zéro dans ce contexte), et
• le symétrique d'un élément a, -a et nous l'appelons opposé de a.

Des exemples de groupes abéliens incluent les groupes monogènes tels que l'ensemble des entiers et l'ensemble des entiers modulo n .

L'ensemble des nombres réels, , forme un groupe abélien avec l'addition ; de même que l'ensemble des nombres réels non nuls,, pour la multiplication. De la même façon tout corps renferme deux groupes, muni de l'addition sur ce corps et privé de l'élément absorbant muni de la multiplication sur ce corps. Un autre exemple important est celui du groupe quotient .

Si n est un entier naturel et x est un élément d'un groupe abélien G, alors nx peut être défini comme x + x + ... + x (n sommes) et (-n)x = -(nx). De cette façon, G devient un module sur l'anneau des entiers. En fait, les modules sur peuvent être identifiés avec les groupes abéliens.

Les théorèmes sur les groupes abéliens peuvent souvent être généralisés en théorèmes sur les modules sur un anneau principal.

Un exemple est la classification des groupes abéliens de type fini.

Tout sous-groupe d'un groupe abélien est un sous-groupe distingué, et ainsi les groupes quotients peuvent être formés librement.

Les sous-groupes, les groupes quotients, les produits et les sommes directes de groupes abéliens, sont aussi abéliens.

Si f, g : G → H sont deux homomorphismes entre groupes abéliens, alors leur somme f+g, définie par (f+g)(x) = f(x) + g(x), est aussi un homomorphisme. (ce qui n'est pas vrai si H n'est pas un groupe abélien). L'ensemble Hom(G, H) de tous les homomorphismes de groupes de G vers H devient ainsi lui-même un groupe abélien.

Les groupes abéliens, conjointement avec les homomorphismes, forment une catégorie, prototype d'une catégorie abélienne.

Quelque peu apparenté à la dimension d'un espace vectoriel, tout groupe abélien a un rang. Le rang est défini comme le cardinal du plus grand ensemble d'éléments linéairement indépendants du groupe. Les ensembles des nombres entiers et des nombres rationnels respectivement ont un rang égal à un. Alors que les rangs des groupes abéliens finis sont bien compris, les rangs des groupes infinis peuvent être extrêmement complexes et encore beaucoup de questions en suspens subsistent, souvent intimement liées à des questions de la théorie des ensembles.

Beaucoup de grands groupes abéliens portent une topologie naturelle, les transformant en des groupes topologiques.