Orthogonalité

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$(E,(. | .))$ désignera un espace préhilbertien sur un corps $(\mathbb K,+,\bullet )$ ( $E$ est un $\mathbb K$ -espace vectoriel).

Sommaire

1 Orthogonalité
2 Familles orthogonales, normées, orthonormales
3 Parties orthogonales
4 Informatique

[modifier] Orthogonalité

Deux vecteurs $x$ et $y$ de E sont dits orthogonaux lorsque $(x | y) = 0$ . On note $x\perp y$ .

$0 E$ est le seul vecteur orthogonal à tout vecteur de $E$ : $((x \in E) \and (\forall y \in E, (x|y)=0)) \Longrightarrow (x|x)=0 \Longrightarrow x=0_{E}$

[modifier] Familles orthogonales, normées, orthonormales

Dans toute cette partie, $I$ désigne un ensemble non vide.

[modifier] Définitions

Soit $(x_{i})_{i \in I}$ une famille de vecteurs d'un espace préhilbertien $(E,(. | .))$ indexés par I, alors :

$(x_{i})_{i \in I}$ est une famille orthogonale $\Longleftrightarrow (\forall (i,j)\in I^2, i \neq j \Longrightarrow (x_{i}|x_{j})=0)$

$(x_{i})_{i \in I}$ est une famille normée $\Longleftrightarrow \forall i \in I, ||x_{i}||^{2}=1$

$(a_{i})_{i \in I}$ est une famille orthonormée (ou orthonormale) $\Longleftrightarrow \forall (i,j) \in I^{2}, (a_{i}|a_{j})= \delta_{ij}\Longleftrightarrow (a_{i})_{i \in I}$ est une famille orthogonale, et : $\forall i \in I, ||x_{i}||=1$ . Avec $δ i j = 1$ si $j = i$ , $0$ sinon.

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.

Toute famille orthonormée est donc libre.

[modifier] Théorème de Pythagore

La propriété fondamentale des familles orthogonales est bien-sûr le théorème de Pythagore :

Si $(x_{i})_{i \in I}$ est une famille orthogonale finie ( $c a r d (I) = n$ , identifié alors à $[[1, n]]$ ) d'un espace préhilbertien $(E,(. | .))$ alors :

$\left\| \sum_{i=1}^{n} x_{i} \right\|^{2} = \sum_{i=1}^{n} \|x_{i}\|^{2}$

Attention : La réciproque est vraie si et seulement si $n\le2$ .

[modifier] Théorème de Gram-Schmidt

Soit $(e_{i})_{i \in \N_{n}}$ une famille libre, il existe une famille $(b_{i})_{i \in \N_{n}}$ telle que :

$(b_{i})_{i \in \N_{n}}$ orthogonale et $\forall i \in \N_{n}, b_{i} \neq 0_{E}$

et $\forall p\in [\![1,n]\!], Vect((b_{i})_{i \in \N_{p}}) = Vect((e_{i})_{i \in \N_{p}})$

La condition $\forall i \in \N_{n}, (a_i|b_{i}) > 0_{E}$ assure par ailleurs l'unicité d'une telle $(b_{i})_{i \in \N_{n}}$ . Cette nouvelle famille orthonormée obtenue est alors appelée l'orthonormalisée au sens de Schmidt de la famille $(e_{i})_{i \in \N_{n}}$ .

[modifier] Parties orthogonales

Soient $A$ et $B$ des sous-ensembles de $E$ .

[modifier] Définitions

$A^{\perp}=\{x \in E | \forall a \in A, (x|a)=0 \}$

$A^{\perp}$ est appelé orthogonal de A. C'est l'ensemble des vecteurs de E orthogonaux à la partie A de E. On le notait parfois $A o$ .

$x \in E$ est orthogonal à la partie $A$ de $E$ si $\forall a \in A, (x|a)=0$ .

Les parties $A$ et $B$ de $E$ sont orthogonales si $\forall (a,b) \in A \times B, (a|b)=0$ .

[modifier] Propriétés

$A^{\perp}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

$A \subset B \Longrightarrow B^{\perp} \subset A^{\perp}$ .

$A^{\perp}=(vect(A))^{\perp}$

$E^{\perp}=\{0_{E}\}$ et $\{0_{E}\}^{\perp}=E$

Si, $a \in E$ , $a \neq 0_{E}$ , alors $a^{\perp}$ est un hyperplan de $E$ .

Si E est supposé de dimension finie :

$\dim A^{\perp}= \dim E - \dim A$ (=codim A)

$E = A {\oplus} A^{\perp}$

$(A^{\perp})^{\perp}=A$ (en général faux en dimension quelconque)

[modifier] Voir aussi

[modifier] Informatique

Le jeu d'instructions d'un ordinateur est dit orthogonal lorsque (presque) toutes les instructions peuvent s'appliquer à tous les types de données. Un jeu d'instruction orthogonal simplifie la tâche du compilateur puisqu'il y à moins de cas particuliers à traiter : les opérations peuvent être appliquées telles quelles à n'importe quel type de donnée. Un exemple typique est le VAX ou le PDP-10.

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