Entier algébrique

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En mathématiques, et plus précisément en théorie algébrique des nombres, un entier algébrique est un nombre dont le polynôme irréductible est unitaire à coefficients dans un anneau. Un entier algébrique est donc un cas particulier de nombre algébrique. L'anneau est souvent celui des entiers relatifs considéré comme un sous-ensemble des nombres complexes ou du corps des nombres p-adiques.

La notion d'entier algébrique est essentielle en théorie algébrique des nombres. De nombreux outils ont été développés pour analyser leur structure comme la ramification ou la structure d'anneau de Dedekind. Ils sont à la base de nombreux théorèmes comme celui des unités de Dirichlet ou de la loi de réciprocité quadratique. Ils sont aussi utilisés dans le cadre de la théorie de Galois, pour étudier par exemple les extensions abéliennes à travers le théorème de Kronecker-Weber. Ils sont aussi utilisés en géométrie algébrique.

[modifier] Définitions

Soit A un anneau commutatif unitaire anneau intègre inclus dans un corps K.

Un élément de K est dit entier algébrique s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A.

En général, l'anneau est celui est entiers relatifs, la définition prend alors la forme suivante :

Un entier algébrique est un nombre complexe admettant un polynôme annulateur unitaire à coefficients dans l'anneau des nombres entiers.

Il est possible de munir l'ensemble des entiers algébriques d'une structure:

Si K est une extension des nombres rationnels, la clôture intégrale de K est l'ensemble des entiers algébriques de K. Cet ensemble est généralement noté $\mathcal{O}_\mathbb{K}\,$ .
Le rang d'un entier algébrique est le degré de son polynôme minimal.

Il est parfois utile de définir une extension d'extension, dans ce cas on obtient des entiers algébriques définis non plus sur Z mais sur un anneau d'entiers algébriques. Ce cas est la plus fréquente des configurations où A est différent de l'anneau des entiers.

[modifier] Exemples

[modifier] Exemples particuliers

les racines carrées des nombres entiers: la racine de n est solution de $X 2 - n = 0$ ,
$i$ , racine carrée de $- 1$ , solution de $X 2 + 1 = 0$ ,
plus généralement les racines $n$ -ièmes de l'unité: solutions de $X n - 1 = 0$ ,
le nombre d'or $\phi = 1,618\ldots$ , solution de $X 2 - X - 1 = 0$ .

[modifier] Anneau des entiers des nombres rationnels

L'anneau des entiers des nombres rationnels est celui des nombres entiers classiques. Cette remarque justifie le nom choisi pour ces nombres.

En effet, soit une fraction irréductible f = a/b si b est différent de 1 ou de -1. La n-ième puissance de f possède pour dénominateur b ⁿ, elle ne peut être combinaison linéaire des puissances de f comprises entre 1 et n - 1. Il n'existe donc pas de polynôme unitaire à coefficients entiers ayant f pour racine.

Réciproquement tout entier a est racine du polynôme X - a. Ceci prouve que a est un entier algébrique.

[modifier] Entier de Gauss

Voir les articles Entier de Gauss et Rationnel de Gauss.

L'anneau des entiers de Gauss est celui des entiers algébriques du corps des rationnels de Gauss qui s'écrivent sous la forme a + i.b où a et b sont des nombres rationnels.

L'anneau des entiers de Gauss est formé des nombres de la forme a + ib où a et b sont des entiers.

Cet anneau est particulier car il est anneau euclidien et donc anneau factoriel. Ces propriétés sont en général fausses pour les anneaux d'entiers. Il est à la base de quelques démonstrations célèbres comme celle de la loi de réciprocité quadratique ou le théorème des deux carrés de Fermat.

[modifier] Entier d'Eisenstein

[modifier] Entier quadratique

Par exemple, les entiers de Dirichlet.

[modifier] Entier cyclotomique

[modifier] Propriétés générales

[modifier] Polynôme minimal et polynôme annulateur

Le vocabulaire des entiers algébriques est le même que celui des nombres algébriques :

Le polynôme minimal est le polynôme à coefficients entiers de plus petit degré ayant l'entier algébrique comme racine.
Un polynôme annulateur est un polynôme à coefficients entiers ayant l'entier algébrique comme racine.

Il existe deux définitions du polynôme minimal, une à coefficients dans les nombres rationnels pour les nombres algébriques et une à coefficients entiers pour les entiers algébriques. Une autre ambiguité peut se glisser, pour qu'un nombre soit un entier algébrique, il suffit qu'un polynôme annulateur soit unitaire, qu'en est-t-il alors du polynôme minimal?

Si un nombre est un entier algébrique, alors son polynôme minimal dans le corps de base est à coefficients entiers.
Si un nombre possède un polynôme annulateur unitaire, alors le polynôme minimal est unitaire si l'anneau de base est anneau factoriel.

Démonstrations

[modifier] Module

Les notations suivantes sont utilisées dans le reste de l'article K désigne une extension algébrique donc un sur-corps de Q le corps des nombres rationnels et x un élément de K.

Il existe une vision structurelle qui aboutit à une définition équivalente à celle d'entier algébrique. Si x est un entier algébrique, alors Z(x), c'est à dire le plus petit anneau unitaire contenant x et un module libre de type fini. Une telle structure s'appelle une Z algèbre commutative.

x est un entier algébrique si et seulement si il est élément d'une Z algèbre de type fini.

Il existe une relation entre la dimension de la plus petite algèbre contenant un entier algèbrique et le rang de x.

Si x un entier algébrique de K alors la dimension n de la plus petite algèbre contenant x est égale au rang de x.
Si x un entier algébrique de K de rang n, alors les puissances de x comprises entre 0 et n - 1 forment une base de la plus petite algèbre contenant x.

Démonstrations

x est un entier algébrique si et seulement si il est élément d'une Z algèbre de type fini.

Si x est un entier algébrique de rang n, alors le Z module engendré par la famille des puissances de x comprises entre 0 et n - 1, contient Z(x). En effet, soit P[X] le polynôme minimal de x et A(x) un élément quelconque de Z(x). Le monôme dominant de P[X] est de coefficient égal à 1 la division euclidienne par P[X] est donc possible. Il existe alors deux polynômes Q[X] et R[X] tel que :

$A[X]=P[X].Q[X]+R[X]\quad avec \quad deg(R[X])\; < \; deg(P[X])\quad donc \quad A(x)=R(x) \quad car \quad P(x)=0$

Le module engendré par la famille des puissances est égal à Z(x) et est stable par multiplication. Il forme bien une algèbre contenant x.

Réciproquement, soit M une algèbre de type finie contenant x. M contient Z(x) qui comme module est libre car il est aussi un anneau intégre en tant que sous-ensemble d'un corps et de type fini car inclu dans un module de type fini. Z(x) possède donc une base de cardinal fini. La famille des puissances de x est génératrice de Z(x), on peut en extraire une base. Soit m un entier strictement supérieur à toute une puissance de x utilisée dans la base. x^m est combinaison linéaire des éléments de la base. Cette combinaison linéaire fournit un polynôme unitaire annulateur de x, ce qui montre que x est un entier algébrique.

Si x un entier algébrique de K de rang n, alors les puissances de x comprises entre 0 et n - 1 forment une base de la plus petite algèbre contenant x.

La démonstration de la proposition précédente montre que la famille des puissances de x comprises entre 0 et n - 1 est génératrice de la plus petite algèbre contenant x, c'est à dire K(x). Une combinaison linéaire de la base correspond à l'image de x par un polynôme de degré strictement plus petit que celui du polynôme minimal. Un tel polynôme ne peut avoir x pour racine, ce qui démontre que la famille est libre, elle est donc une base.

Si x un entier algébrique de K de rang n, alors les puissances de x comprises entre 0 et n - 1 forment une base de la plus petite algèbre contenant x.

Cette proposition est un corollaire immédiat de la proposition précédente.

[modifier] Clôture intégrale

L'ensemble Z(x) possède une structure de Z algèbre. Z(x) est donc un anneau et un Z module.

Si x est un entier algébrique de polynôme minimal P[X] alors il existe un isomorphisme de Z algèbre entre Z(x) et Z/P[X].

S'il apparaît évident que Z(x) possède naturellement une structure de Z algèbre, la question se pose pour une clôture intégrale. Si deux entiers algébriques sont éléments d'une même extension, leur somme opposé et leur produit est-il un entier algébrique ? la réponse est affirmative.

La clôture intégrale d'une extension de corps possède une structure de Z algèbre.

En revanche, dans le cas général si Z(x) est inclu dans la clôture intégrale de Q(x), l'égalité n'est pas garantie. Si x est égal à $\scriptstyle{\sqrt{5}}$ , considérons par exemple l'extension quadratique Q(x). Elle n'a pas pour clôture intégrale Z(x). En effet, 1/2.(1 + $\scriptstyle{\sqrt{5}}$ ) est un entier algébrique de Q(x), mais n'est pas élément de Z(x). On remarque que 1/2.(1 + $\scriptstyle{\sqrt{5}}$ ) est racine du polynôme X² - X - 1. La clôture intégrale est un Z module libre, de plus il est de type fini si K, en tant qu'extension de Q est finie. Il possède donc une base et une dimension car toutes les bases d'un module libre et de type fini ont même cardinal.

La dimension de la clôture intégrale d'une extension finie est la même que l'extension.

Cette proposition ne signifie pas que tout Z module de K est de dimension inférieure à celle de l'extension. En effet, Z(1/2) est un Z module de dimension infinie et pourtant strictement inclu dans K.

Dans le cas d'une extension finie, toute base de la clôture intégrale est une base de K.

Dans le cas d'un module, une famille libre et de cardinal la dimension du module n'est pas toujours une base. En effet, (1, $\scriptstyle{\sqrt{5}}$ ) est une famille libre de cardinal la dimension de l'extension finie Q( $\scriptstyle{\sqrt{5}}$ ), mais ne forme pas une base.

En revanche, et pour résumer, la clôture intégrale est une Z algèbre de même dimension que la Q algèbre que forme l'extension.

Démonstrations

Si x est un entier algébrique de polynôme minimal P[X] alors il existe un isomorphisme de Z algèbre entre Z(x) et Z/P[X].

Il suffit pour démontrer cette assersion de considérer le morphisme de Z algèbre de Z[X] dans Z(x) qui, à un polynôme associe sa valeur en x. Ce polynome a pour noyau les polynômes annulateur de x, or c'est l'idéal engendré par P[X]. Ce qui démonstre l'existence d'un isomorphisme d'algèbre entre Z[X]/P[X]]) et Z(x).

La clôture intégrale d'une extension de corps possède une structure de Z algèbre.

Soit x et y deux entiers algébriques de K, alors l'isomorphisme de la proposition précédente montre l'existence d'un entier entiers n et (respectivement m) tel que la famille (xⁱ) (respectivement (y^j)) avec i variant de 0 à n - 1 (respectivement m -1) soit une base d'une Z algèbre contenant x (respectivement y)). Alors la Z algèbre engendrée par la famille (xⁱ.y^j) avec i variant de 0 à à n - 1 et j variant de 0 à m -1, contient x-y et x.y. La Z algèbre est de plus de dimension finie. En conséquence la différence et le produit de x et y élément de l'ensemble des entiers algèbriques O_K. Ceci demontre que O_K est un sous anneau de K et donc un anneau. O_K contient Z, c'est donc aussi un Z module et par voie de conséquence une Z algèbre.

La dimension de la clôture intégrale d'une extension finie est la même que l'extension.

Soit une base de la clôture intégrale, alors toute combinaison linéaire sur l'ensemble des rationnels, par multiplication du ppcm fournit une combinaison linéaire sur les entiers. Il n'existe pas de combinaison linéaire nulle autre que celle à coefficients tous nuls. En conclusion une base de clôture intégrale est une famille libre de l'extension en tant qu'espace vectoriel, et la dimension de la clôture intégrale est inférieure ou égale à celle de l'extension.

Montrons que la dimension de l'extension est inférieure ou égal à celle de O_K. Soit (k_i) une base de l'extension. Montrons qu'il existe une famille d'entiers (m_i) différents de 0 tel que (m_i.k_i) soit une famille de O_K. k_i possède un polynôme minimal à coefficients dans Q. Quitte à multiplier le polynôme par le ppcm des dénominateurs des coefficients, il est possible d'obtenir un polynôme minimal à coefficients dans Z tel que les coefficients soit premiers entre eux dans leur ensemble. Notons m_i le coefficient du monôme dominant de ce polynôme P_i[X]. alors P_i[X /m_i] est un polynôme sur Q dont tous les dénominateurs sont des diviseurs de la n_i - 1 ième puissance de m_i, si nⁱ désigne le degré du polynôme minimal. Le polynôme P_i[X /mⁱ], multiplié par le coefficient m_i à la bonne puissance est donc unitaire. Il a pour racine m_i.k_i. La famille (m_i.k_i) est une base car aucun m_i n'est nulle et elle est constituée d'élément de O_K. On en déduit que la dimension de K en tant qu'espace vectoriel est inférieure ou égale à celle de O_K.

La dimension de O_K est inférieure ou égale à celle de K et la dimension de K est inférieure ou égale à celle de O_K. Les dimensions sont bien égales.

Dans le cas d'une extension finie, toute base de la clôture intégrale est une base de K.

Il suffit de constater qu'une base de la clôture intégrale est une famille libre de cardinal la dimension de K.

[modifier] Anneau de Dedekind

Voir l’article Anneau de Dedekind.

De la même manière que les entiers algébriques sont aux nombres algébriques ce que les entiers relatifs sont aux nombres rationnels, les anneaux d'entiers correspondent quant à eux aux corps de nombres.

C'est l'ordre maximal de $K$ .

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org../../../e/n/t/Entier_alg%C3%A9brique.html »

Catégories : Wikipédia:ébauche mathématiques • Théorie algébrique des nombres • Théorie de Galois

Entier algébrique

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Sommaire

[modifier] Définitions

[modifier] Exemples

[modifier] Exemples particuliers

[modifier] Anneau des entiers des nombres rationnels

[modifier] Entier de Gauss

[modifier] Entier d'Eisenstein

[modifier] Entier quadratique

[modifier] Entier cyclotomique

[modifier] Propriétés générales

[modifier] Polynôme minimal et polynôme annulateur

[modifier] Module

[modifier] Clôture intégrale

[modifier] Anneau de Dedekind

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