Entier de Dirichlet

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Dirichlet

En mathématiques, et plus précisement en théorie algébrique des nombres, un entier de Dirichlet est un élément de l'anneau des entiers algébriques de l'extension quadratique de Q[√5]. Il s'agit d'un nombre réel de la forme a + 1/2.(1 + √5)b où a et b sont des entiers relatifs.

L'ensemble des entiers de Dirichlet possède une structure forte. Comme tous les ensembles d'entiers algébriques, muni de l'addition et de la multiplication ordinaire des nombres réels, il forme un anneau intègre, généralement noté Z[1/2.(1 + √5)]. De plus, ce qui est beaucoup plus rare, c'est un anneau euclidien et donc un anneau factoriel.

Ils sont utilisés en théorie algébrique des nombres et en arithmétique modulaire, par exemple pour l'étude d'équations diophantiennes, Leur utilisation a permis à Dirichlet et Legendre de démontrer le dernier théorème de Fermat dans le cas où le paramètre est égal à cinq.

Sommaire

1 Histoire
2 Définitions
3 Propriétés générales
4 Propriété associée à la démonstration du dernier théorème de Fermat
5 Voir Aussi
- 5.1 Liens externes
- 5.2 Références

[modifier] Histoire

Disquisitiones Arithmeticae de Gauss 1801

L'histoire des entiers de Dirichlet est liée à celle du grand théorème de Fermat. Ce théorème indique que l'équation xⁿ + yⁿ = zⁿ n'admet pas de solution entière si le paramètre n est strictement supérieur à deux.

Leonhard Euler (1707 - 1783) propose une démonstration du dernier théorème de Fermat qui s'avère être presque exacte. Elle utilise une structure qui est plus tard cataloguée comme anneau d'entiers algébrique : Z[i√3]. Euler suppose qu'une telle structure se comporte comme un anneau factoriel, ce qui n'est pas le cas.

En 1801 Carl Friedrich Gauss (1777 1855) publie le traité Disquisitiones Arithmeticae, ouvrant la voie à l'arithmétique moderne. Un premier exemple d'entier algébrique est exhibé : l'anneau des entiers de Gauss est analysé et sa structure euclidienne et factorielle démontrée. Cette démarche, ouvrant la voie à une arithmétique modulaire sur d'autes ensembles que les entiers relatifs permet la démonstration de la loi de réciprocité quadratique et des démonstrations plus simples d'équations diophantiennes comme le théorème des deux carrés de Fermat. L'application de cette approche au polynôme cyclotomique des racines cubiques de l'unité permet à Ferdinand Eisenstein (1823 1852) de mettre en évidence un nouvel anneau d'entiers algébriques, celui des entiers d'Eisenstein. Cet ensemble permet une démonstration parfaitement rigoureuse du grand théorème de Fermat dans le cas où le paramètre est égal à trois.

Durant la première décennie du XIX^e siècle, Sophie Germain (1776 - 1831) démontre qu'aucune solution n'est possible si l'une des trois inconnues de l'équation n'est pas multiple de cinq dans le cas où le paramètre est égal à cinq. Cependant, malgré d'importants efforts de la communauté mathématique, plus de quinze s'écoulent sans progrès notable. En 1825, Dirichlet (1805 - 1859) acquiert une célébrité instantanée grâce à un apport majeur dans le cas où le paramètre est égal à cinq. La démonstration est soumise à l'académie des sciences et Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833) est nommé référé. Il lui suffit de quelques mois pour généraliser la preuve à tous les cas si n est égal à cinq.

Le coeur de la démonstration se fonde sur deux lemmes permettant une bonne factorisation en puissances cinquièmes d'entiers relatifs. Ils se démontrent à l'aide de la structure des entiers de Dirichlet.

[modifier] Définitions

La démarche correspond exactement à la même que celle des entiers de Gauss ou des entiers d'Eisenstein:

Un nombre réel est dit entier de Dirichlet si, et seulement s'il est un entier algébrique de l'extension Q[√5].

Un nombre n est dit entier algébrique si et seulement si il existe un polynôme unitaire à coefficients entiers ayant n pour racine. Cette définition est équivalente à la suivante:

Un nombre réel n est dit entier de Dirichlet si et seulement si, il existe deux entiers relatifs a et b tel que n = a + 1/2.(1 + √5)b.

Les deux définitions sont équivalentes. Cette équivalence découle d'une propriété générale des entiers algébrique d'une extension quadratique, une démonstration directe est donnée ici.

Un entier de Dirichlet p est dit nombre premier de Dirichlet si et seulement si toute décomposition de p en deux facteurs entiers de Dirichlet contient un et un seul élément égal à ±1.

La notion de nombre premier de Dirichlet correspond à celle d'élément premier ou d'élément irréductible. Elle est importante car les entiers de Dirichlet forment un anneau factoriel, ce qui signifie que tout entier se décompose de manière unique aux éléments du groupe des unités près.

Dans toute la suite de l'article, ω désigne l'entier de Dirichlet égal à 1/2.(1 + √5).

Démonstration

[modifier] Propriétés générales

[modifier] Structure d'anneau

Voir l’article entier algébrique.

L'ensemble des entiers de Dirichlet muni de l'addition et de la multiplication forme un anneau.

Cette propriété est générale aux entiers d'une extension de corps (cf Entier algébrique). Il est néanmoins simple de vérifier ici que l'ensemble est un sous-anneau du corps Q[√5] (tout corps est aussi un anneau):

$\forall a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb{Z} \quad (a_1+\omega.b_1)-(a_2+\omega.b_2)=(a_1-a_2)+\omega.(b_1-b_2)\in \mathbb{Z}[\omega]$ $\forall a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb{Z} \quad (a_1+\omega.b_1).(a_2+\omega.b_2)=(a_1.a_2+b_1.b_2)+\omega.(a_1.b_2+b_1.a_2+b_1.b_2)\in \mathbb{Z}[\omega]$

En tant que sous-anneau du corps Q[√5], il hérite de certaines propriétés, ainsi l'anneau est intégre et commutatif. Il est de plus unitaire et donc de caractéristique nulle.

L'ensemble peut de plus être munis d'une structure de Z module, comme chaque anneau d'entiers algébriques et bénéficie des propriétés inhérentes à ces anneaux. Le module est libre et de type fini. Il possède donc une base, ici la base canonique est (1,ω).

Comme pour chaque corps quadratique, Q[√5] ne contient que deux automorphismes laissant invariant Q, l'identité et le morphisme qui à √5 associe son opposé. Cette application est appelée conjugée, et l'on note $\scriptstyle {\bar {z}}$ l'image d'un entier de Dirichlet par cette application. Si a et b sont deux entiers relatifs alors :

$\bar {\omega} = 1-\omega \; ,\; \omega^2=1+\omega \; ,\; \overline {a+\omega.b}=a+b-\omega.b\;$

[modifier] Norme

La situation est analogue à celle des entiers de Gauss et d'Eisenstein. Il existe une application appelée norme, de l'anneau de Dirichlet dans Z l'ensemble des entiers relatifs. Cette application se comporte comme un morphisme multiplicatif. Elle associe à z un entier de Dirichlet l'entier notée N(z) égal au produit de z avec son congugé. Si a et b sont deux entiers tel que:

$z=a+\omega.b \Rightarrow N(z)=z.\bar{z}=a^2+a.b-b^2 \;$

Comme l'application qui à z associe son congugé est un automorphisme, la norme est un morphisme multiplicatif, c'est à dire:

$\forall z,z'\in \mathbb{Z}[\omega]\quad N(z.z')=zz'.\overline{zz'}=z.\bar{z}.z'\bar{z'}=N(z).N(z') \;$

La figure de droite illustre l'anneau des entiers de Dirichlet comme Z module de base (1,ω). La valeur √5 par exemple est représentée par le point de coordonnées -1 et 2 car -1 + 2.ω est égal à √5. Les courbes rouges correspondent aux éléments de Q[√5] ayant une norme égale à ±1. Ces courbes correspondent aux deux hyperboles d'équations x² + x.y - y² = ±1.

Les deux asymptotes correspondent aux droites d'équation x + $\scriptstyle {\omega}$ .y = 0 et x + $\scriptstyle {\bar{\omega}}$ .y = 0. Ces droites ne contiennent aucun autre élément de Q[√5] que 0. En effet, toute intersection différente de 0 entre Q[√5] et les deux droites correspondent à une écriture rationnel de ω qui n'existe pas car ω est irrationnel.

[modifier] Groupe des unités

Voir l’article Groupe des unités.

Le groupes des unités correspond à l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau.

Le groupe des unités de l'anneau de Dirichlet est composé des éléments de norme égale à ±1.

Toutes les unités de l'anneau sont sur les deux hyperboles de la figure de droite. Plus précisemment, les unités correspondent à l'intersection du réseau des éléments de Q[√5] à coordonnées entières dans la base (1,ω) (qui correspondent aux entiers de Dirichlet) et aux deux hyperboles correspondant aux points de Q[√5] ayant une norme égale à ±1.

La figure montre de plus, que les unités sont soit une puissance de ω soit l'opposé d'une puissance de ω.

L'application de Z/2.Z x Z dans le groupe des unités, qui à (ε, n) associe (-1)^ε.ω ⁿ est un isomorphisme de groupe.

Ce qui revient à dire que le groupe des unités est engendré par deux éléments -1 et ω.

[modifier] Groupe des unités et équation de Pell

Voir l’article Équation de Pell.

L'équation de Pell est l'équation diophantienne définie par x² - n.y² = ±1, le cas qui nous intéresse ici est celui où n est égal à cinq. En conséquence si (α, β) est un couple solution, alors l'égalité (α + √5.β).(α - √5.β) = ±1 montre que le couple est associé à une racine de l'unité. Réciproquement, si a + β.ω est une unité, alors a + b.ω = a + b/2 + b/2.√5 est de norme égale à 1 et donc (a + b/2)² - 5.(b/2)² = ±1.

L'application qui à toute unité a + β.ω tel que β soit paire, associe le couple (a + b/2, b/2) a pour ensemble d'arrivée les solutions de l'équation de Pell pour le paramètre n égal à cinq. De plus, l'application est bijective.

Pour associer chaque racine de l'unité à une solution de l'équation de Pell, il est nécessaire soit d'accepter les solutions multiples de 1/2, soit de considérer l'équation suivante: x² - n.y² = ±4. La deuxième approche est celle retenue dans le paragraphe suivant sur les fractions continues.

[modifier] Groupe des unités et fraction continue

Voir l’article Fraction continue.

Une approche par les fractions continues permet la détermination du groupe des unités. Cette approche correspond exactement à celle développée dans le paragraphe associé à l'équation de Pell dans l'article sur les fractions continues.

On remarque tout d'abord que l'anneau des entiers de Dirichlet contient les éléments de la forme α + √5.β où α et β sont soient des entiers soit simultanément des multiples impairs de 1/2. L'équation de Pell doit donc être légèrement modifiée pour tenir compte du facteur 1/2, elle devient x² - 5.y² = 4, avec x = 2.α et y = 2.β. Le couple (p₀, q₀) = (2, 0) correspond à la solution associée à 1.

L'entier ωⁿ = u_n + ω.v_n correspond à la nième valeur de l'équation de Pell modifié, ce qui donne le couple suivant:

$(p_n, q_n) = (2.u_n+v_n, v_n)\quad et \quad (u_n,v_n)=\left( \frac{1}{2}(a_n-b_n),b_n \right)\;$

La relation de récurrence est définie par :

$(u_0, v_0) = (1, 0)\quad et \quad (u_{n+1},v_{n+1})=(v_n,u_n+v_n)\quad car \quad (u_n+\omega.v_n).\omega = v_n+ \omega. (u_n+v_n) \;$

Ce qui établit la relation de récurrence suivante:

$(p_0,q_0)=(2,0)\quad et \quad (p_n, q_n) = \left( \frac{1}{2}(p_n+5.q_n),\frac{1}{2}(p_n+q_n) \right)\;$

Si la fraction r_n est égale à p_n/q_n, alors la fraction continue est définie par la relation de récurence:

$r_{n+1}=\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}=\frac{p_n+5.q_n}{p_n+q_n}=\frac{r_n+5}{r_n+1}=1+\frac{4}{1+r_n}$

On obtient la fraction continue:

$r_n = 1 + \cfrac{4}{1 + \cfrac{4}{1 + \cfrac{4}{1+\,\cdots}}}$

Démonstrations

Le groupe des unités de l'anneau de Dirichlet est composé des éléments de norme égale à ±1.

En effet, la norme de 1 est égale à 1, et la norme est multiplicative, donc si u est une unité, alors N(u.u^-1) = N(u).N(u)^-1 = N(1) = 1. Comme l'application norme est à valeur dans l'ensemble des entiers, on en déduit que la norme d'une unité est une unité de Z et donc égale à ±1.

Réciproquement, si z est de norme égale à ±1, alors $\scriptstyle {z.\bar {z}}$ est un entier relatif de norme égal à ±1 et donc est égal à ±1. En conséquence, soit $\scriptstyle {\bar {z}}$ , soit $\scriptstyle {-\bar {z}}$ est l'inverse de z.

L'application de Z/2.Z x Z dans le groupe des unités, qui à (ε, n) associe (-1)^ε.ω ⁿ est un isomorphisme de groupe.

ω est une racine de l'unité car ω.(-1 + ω) = 1, l'ensemble d'arrivé est donc bien inclu dans le groupe des unités.

La propriété de morphisme de groupe est évidente.

Il reste à démontrer l'aspect surjectif de l'application. Soit u = a + ω.b une racine de l'unité.

Si b est égal à 0 ou à 1, alors il existe dix cas qui se traitent aisément. Ils correspondent aux dix solutions dans la bande orange de la figure.
Sinon, quatre cas se présentent, a et b positifs, a positif et b négatif, a négatif et b positif et enfin a et b négatif. Ces quatre cas correspondent aux huit branches asymptotiques des deux hyperboles de la figure qui se groupent deux à deux. Ils se traitent tous de manière analogue. Considérons donc le cas où a et b sont positifs et b est supérieur ou égal à deux. Toute solution α + ω.β satisfaisant ces hypohèses vérifie α < β < 2.α; en effet, si β est plus petit ou égal à α alors N(α + ω.β) est plus grand que α² (et donc plus grand que quatre) et si β est plus grand que 2.α alors N(α + ω.β) est plus petit que -α². Donc (a + ω.b).ω ^-1 = a₁ + ω.b₁ est aussi un élément du groupe de l'unité du quadrant. En effet b₁ est égal à a et a₁ = b - a sont strictement positif et b₁ est strictement plus petit que b. En réitérant le processus de multiplication par ω ^-1, on obtient finalement un élément du groupe de l'unité dont le coefficient de ω est soit zéro soit un. Un tel élément est égal à une puissance de ω à un facteur ±1. Ceci montre que u est bien une puissance de ω à un facteur ±1.

[modifier] Division Euclidienne

Voir l’article Anneau euclidien.

La norme possède une propriété importante, à l'instar de l'anneau des entiers de Gauss, elle permet de définir une division euclidienne. En revanche, cette norme n'est pas toujours positive. La valuation v, c'est à dire la fonction permettant de définir la division doit prendre des valeurs strictement positive, on la choisit comme la valeur absolue de la norme. On remarque que cette application est toujours multiplicative, c'est à dire que si z et z' sont deux entiers de Dirichlet, alors : v(z.z') = v(z).v(z')

Soit a et b deux entiers de Dirichlet tel que b soit non nul, alors il existe un couple d'entiers de Dirichlet tel que :

$a=b.q+r\quad avec \quad v(r)<v(b)\;$

La démonstration est analogue à celle du cas des entiers de Gauss. Considérons la fraction rationnelle a/b et l'ensemble des éléments z de Q[√5] tel que v(a/b - z) soit strictement inférieure à un. Cet ensemble correspond à la zone bleue de la figure de droite, délimitée par les quatre branches des hyperboles. L'intersection de cette zone avec les entiers de Dirichlet correspondant aux points du réseau sont les candidats à être les quotients de la division euclidienne. Ces candidats sont illustrés par un cercle sur la figure. Le carré, illustré en orange, de coté 1 et de centre a/b est strictement inclu dans la zone bleu. Il contient au moins un point q, illustré ici en rouge. Ce point q vérifie:

$v\left( \frac{a}{b}- q \right) <1 \mbox{ et si } r=b.\left(\frac{a}{b}- q\right) \mbox{ alors } v(r)=v \left(b.\left(\frac{a}{b}- q\right)\right) = v(b).v\left(\frac{a}{b}- q \right)<v(b)$

Ceci montre qu'il existe une division euclidienne dans l'anneau des entiers de Dirichlet. Comme cet anneau est euclidien, il est principal, l'identité de Bézout s'applique ainsi que le lemme d'Euclide et le théorème fondamental de l'arithmétique.

Il existe donc un ensemble d'entiers premiers, c'est à dire tel qu'ils ne sont divisibles que par eux-même ou l'unité (au groupe des unités près), et tout élément se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers et d'une unité, l'unicité existe à l'ordre près et au groupe des unités près.

Par exemple √5 est un nombre premier de Dirichlet. On remarque en effet que la norme de √5 est égal à -5 un nombre irréductible dans les entiers relatifs. Soit u et v une décomposition en deux facteurs de √5, c'est à dire √5 = u.v alors la norme de u est un diviseur de celle de √5, elle est donc égale soit à une unité et u est une unité, soit à 5 (à un élément du groupe des unités près) et v est une unité. Dans les deux cas, l'un des facteurs est une unité, ce qui montre que √5.

De même, 2 est un nombre premier de Dirichlet. Il suffit pour cela de montrer qu'il n'existe pas d'entier de Dirichlet dont la norme est égale à deux. En effet, si tel est le cas, Alors tout diviseur de deux possède pour norme soit 1 soit 4 (c'est à dire la norme de deux), un raisonnement analogue au cas √5 permet alors de conclure. Montrons, par l'absurde qu'il n'existe pas d'entier de Dirichlet de norme égal à ±2. Supposons q'un tel nombre existe et soit a et b les deux entiers relatifs de même parité tel que 1/2(a + b.√5) soit égal à ce nombre. Sa norme est égal à deux, donc a² + 5.b² = ±8. Si a et b sont pairs, alors il existe deux entiers u et v tel que a = 2.u et b = 2.v, l'équation devient u² + 5.v² = ±2, une annalyse modulo quatre montre que le premier terme ne peut jamais être congru à deux, d'où une contradiction si a et b sont pairs. Si a et b sont impairs, alors il existe u et v tel que a = 2.u + 1 et b = 2.v + 1, l'équation devient en simplifiant par 4 : u.(u + 1) - 5.v.(v+ 1) - 1 = ±2, le premier terme est impair le second pair, d'où une contradiction si a et b sont impairs.

[modifier] Propriété associée à la démonstration du dernier théorème de Fermat

Voir l’article Démonstrations du dernier théorème de Fermat.

Dirichlet s'est intéressé à cet anneau d'entier dans un but particulier: résoudre l'équation de Fermat dans le cas où le paramètre est égal à cinq. Cette résolution revient à montrer qu'il existe pas de triplet (x, y, z) tel que x.y.z soit différent de zéro et x⁵ + y⁵ = z⁵.

Cette résolution se fonde sur un lemme technique. La démonstration de ce lemme est la cause originale de l'étude par Dirichlet de cet anneau d'entier:

Soit a et b deux entiers relatifs différents de zéro, premiers entre eux, de parités différentes, tel que cinq divise b et a² - 5.b² soit une puissance cinquième. Alors il existe deux entiers différents de zéro c et d premiers entre eux, de parités différentes tel que cinq ne divise pas c et :

$a=c(c^4+50c^2d^2+125d^4)\quad et \quad b=5d(c^4+10c^2d^2+5d^4)\;$

Démonstration

1. il existe quatre entiers relatifs m, n, t, u tel que que a + b.√5 = 1/2.(t + u.√5).[1/2.(m + n.√5)] ⁵ où 1/2.(t + u.√5) est une unité et 1/2.(m + n.√5) est un entier de Dirichlet (donc m et n ont même parité).

a² - 5.b² est le produit de a + b.√5 et de son conjugé. Si a + b.√5 est premier avec son conjugé, alors il est le produit d'une puissance cinquième et d'une unité car l'anneau de Dirichlet est euclidien donc factoriel.

Soit d un entier de Dirichlet premier ou une unité, divisant a + b.√5 et son conjugé, il existe alors e et f deux entiers de Dirichlet tel que:

$d.e=a+\sqrt{5}.b\; , \; d.f=a-\sqrt{5}.b\; , \; d.(e+f)=2.a \; et \; d.(e-f)=2.\sqrt{5}.b\;$

Si d divise √5, comme √5 est premier dans les entiers de Dirichlet, d est égal à √5 à une unité près. Comme 2 est aussi premier dans les entiers de Dirichlet, √5 divise a et 5 divise a² et donc a.0r 5 divise b, de plus a et b sont premiers entre eux. Donc 5 ne peut diviser a et par voie de conséquence √5 ne divise pas d.

2 ne peux pas diviser d car alors deux divise a + b.√5 et a/2 + √5.b/2 serait élément des entiers de Dirichlet, ce qui est incompatible avec le fait que a et b sont de parités différentes. En conséquence, d divise a et b. Le conjugé de d divise aussi a et b car ils sont entiers relatifs, et le produit de d et de son conjugé divise aussi a et b car d et son conjugé sont premiers entre eux (d est soit premier soit une unité). Ce produit est un entier, il est donc égal à ±1. En conclusion, les seuls entiers de Dirichlet qui divisent a + b.√5 et son conjugé sont des unités, la première remarque permet alors de conclure et :

$a+\sqrt{5}.b= \frac{1}{2}.(t + \sqrt {5}.u).\left( \frac{1}{2}(m + \sqrt{5}.n)\right)^5\;$

2. Il est possible de choisir m et n tel que t soit égal à 1 et u à 0.

Notons 1/2.(α + √5.β) = [1/2.(m + √5.n)]⁵. Montrons que β est un multiple de cinq et que α ne l'est pas. L'égalité s'écrit en développant l'égalité avec la formule du binôme :

$16.(\alpha+\sqrt{5}.\beta)=(m+\sqrt{5}.n)^5=m^5+10.5.m^3.n^2+5.25.m.n^4+\sqrt{5}.(5.m^4.n + 10.5.m^2.n^3+25.n^5) \;$

β apparaît clairement comme un multiple de cinq, si α l'est, alors a + b.√5 l'est aussi et comme b l'est, a l'est aussi. Or a n'est pas un multiple de cinq car b l'est et a et b sont premiers entre eux (dans l'ensemble des entiers relatifs).

Montrons alors que u est aussi un multiple de cinq :

$4.(a+\sqrt{5}.b)=(t + \sqrt {5}.u).(\alpha+\sqrt{5}.\beta)=t.\alpha + 5.u.\beta + \sqrt{5}.(t.\beta + u.\alpha) \quad et \quad u.\alpha = 4.b -t.\beta\;$

Cinq est multiple de b et de β, donc α.u est multiple de cinq. comme α n'est pas multiple de cinq, u l'est.

Montrons que t + u.√5 est une puissance cinquième. Tout élément du groupe de l'unité est une puissance positive soit de ω, soit de -ω, soit de $\scriptstyle {\bar {\omega}}$ soit de - $\scriptstyle {\bar {\omega}}$ et donc :

$\exists \epsilon, \epsilon' \in \{-1, 1\}\; et\;n\in \mathbb{N} \; \mbox{ tel que } 2^{n-1}.(t + \sqrt{5}.u)=\epsilon(1+\epsilon'. \sqrt{5})^n\;$

Une nouvelle utilisation de la formule du binôme montre l'égalité suivante et le fait que n est un multiple de cinq:

$n + \sum_{i=2}^{\frac{n}{2} + 1} {n \choose {2.i - 1}}.5^{i-1}=\epsilon'.\epsilon.2^{n-1}.u$

Comme n est une puissance de cinq il existe une unité θ tel que t + √5.u = θ⁵. En conclusion [θ.(m + √5.n)]⁵ est égal à a + √5.b. Ce qui revient à dire que l'unité peut être choisie égale à 1.

3. m et n sont pairs.

La formule du binôme montre, en développant l'égalité a + √5.b = (m + √5.n)⁵ :

$32.a=m(m^4+50.m^2.n^2+125.n^4)\quad et \quad 32.b=5.n.(m^4 + 10m^2.n^2+5.n^4) \;$

Supposons que m et n soient impairs, alors m⁴ + 10.m².n² + 5.n⁴ est congru à 0 modulo 32 car ni 5 ni n ne sont pairs. Les puissances quatrièmes de nombres impairs ne sont congrus qu'à 1 ou à 17 modulo 32. Il existe donc quatre cas à étudier. Considérons le premier cas : n et m ont une puissance de 4 congru à 1 modulo 32. Leurs carrés sont congrus soit à 1 soit à 17, et le produit de leurs carrés est alors congru soit à 1 soit à 17. L'expression est alors congru soit à 7 soit à 23. En conséquence, n et m ne peuvent posséder tout deux une puissance de 4 congru à 1 modulo 32 car l'expression doit être congru à 0. L'analyse des trois autres cas est analogue et tout aussi impossible. On en conclut que m et n sont nécessairement pairs.

4. Fin de la démonstration.

Alors l'égalité s'écrit a + b.√5 = (c + d.√5) ⁵ où 2.c = m et 2.d = n. En choisissant le signe de c (respectivement d)comme égal à celui de a (respectivement b) on obtient :

$a= c.(c^4+50.c^2.d^2+125.d^4)\quad et \quad b= 5.d(c^4 + 10.c^2.d^2+5.d^4) \;$

Si c ou d sont nuls, alors soit a soit b est nul, ce qui n'est pas le cas donc c et d sont tous deux non nuls. Tout diviseur commun à c et à d est diviseur commun à a et à b, donc c et d sont premiers entre eux car a et b le sont. Si c et d sont de même parité, alors a et b sont tous les deux pairs, ce qui n'est pas le cas, donc c et d sont de parités différentes. Cinq divise b donc il ne divise pas a et donc il ne divise pas c.