Idéal

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En mathématique, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les entiers. Il est ainsi possible d'énoncer des versions très générales de théorèmes d'arithmétique tels que le théorème des restes chinois ou le théorème fondamental de l'arithmétique, valables pour les idéaux. On peut aussi comparer cette notion à celle de sous-groupe distingué pour la structure algébrique de groupe en ce sens qu'elle permet de définir la notion d'anneau quotient.

Sommaire

1 Aspect historique
2 Définition
3 Propriétés
4 Radical d'un idéal d'un anneau commutatif
5 Idéaux particuliers
6 Autres types d'idéal
7 Sources
8 Voir aussi

[modifier] Aspect historique

La théorie des idéaux est relativement récente puisque elle fut créée par Richard Dedekind vers la fin du XIX^e siècle. À cette époque, une partie de la communauté mathématique s'intéresse aux nombres algébriques et plus particulièrement aux entiers algébriques.

La question est de savoir si les entier algébrique se comportaient comme les entiers relatifs, en particulier concernant leur décomposition en facteurs premiers. Il semblait bien, dès le début du XIX^e siècle, que cela n'était pas toujours le cas : 6 par exemple pouvant se décomposer dans l'anneau $\mathbb Z[i\sqrt{5}]$ sous la forme $2 \times 3$ ou sous la forme $(1 + i\sqrt{5})(1- i\sqrt{5})$ . Ernst Kummer pressent alors que cela va dépendre des nombres en question et invente la notion de nombres complexes idéaux dont le maniement reste compliqué.

C'est Dedekind en 1871 qui reprend la notion de nombre idéal de Kummer et qui crée la notion d'idéal dans un anneau. Il s'intéresse principalement aux anneaux d'entiers algébriques, c'est-à-dire à des anneaux commutatifs, unitaires et intègres. C'est dans ce domaine que se trouvent les résultats les plus intéressants sur les idéaux. Il crée sur l'ensemble des idéaux d'un anneau commutatif, unitaire et intègre des opérations semblables à l'addition et la multiplication dans les entiers relatifs.

La théorie des idéaux a permis une avancée significative dans l'algèbre générale, mais aussi dans l'étude des courbes algébriques (géométrie algébrique).

[modifier] Définition

Une partie $I$ d'un anneau $A$ est un idéal à gauche de A si :

I est un sous-groupe additif de A.
$\forall (x,a) \in I \times A : x \times a \in I$
Le produit, à gauche, d'un élément de I par un élément de A appartient à I.

et est un idéal à droite de A si :

I est un sous-groupe additif de A.
$\forall (a,x) \in A \times I : a \times x \in I$
Le produit, à droite, d'un élément de I par un élément de A appartient à I.

Un idéal bilatère est un idéal à gauche et à droite. Dans un anneau commutatif, les notions d'idéal à droite, d'idéal à gauche et d'idéal bilatère se confondent et on parle alors simplement d'idéal.

Exemples:

Pour tout entier relatif $k$ , $k \mathbb{Z}$ est un idéal de $\mathbb{Z}$ .
Si A est un anneau, {0} et A sont des idéaux triviaux de A. Ces idéaux sont d'un intérêt somme toute assez limité, c'est la raison pour laquelle on appellera idéal propre un idéal non trivial.
Si A est un anneau unitaire et si I est un idéal contenant 1 alors I = A. Plus généralement, si I contient un élément inversible alors I = A
Les seuls idéaux dans un corps K sont les idéaux triviaux

[modifier] Propriétés

Somme Si I et J sont deux idéaux d'un anneau alors l'ensemble $I+ J = \{x + y | x \in I \ et \ y \in J\}$ est un idéal.

Intersection : une intersection quelconque d'idéaux reste un idéal.

L'ensemble des idéaux de A muni de ces deux opérations forme alors un treillis.

La seconde opération permet de mettre en place la notion d'idéal engendré : Si P est une partie d'un anneau , on appelle idéal engendré par P l'intersection de tous les idéaux de A contenant P.

Produit: si I et J sont deux idéaux d'un anneau, on appelle produit de I et J l'idéal engendré par tous les éléments de la forme xy où x appartient à I et y appartient à J.

Exemple: Dans l'anneau $\mathbb Z$ , le produit des idéaux $n\mathbb Z$ et $p\mathbb Z$ est l'idéal $np\mathbb Z$

Anneau quotient : Si I est un idéal bilatère, la relation $x \mathcal R y \Leftrightarrow x - y \in I$ est une relation d'équivalence compatible avec les deux lois de l'anneau. On peut alors créer, sur l'ensemble des classes $\dot x = x + I$ une structure d'anneau appelé anneau quotient.

Article détaillé : Anneau quotient

[modifier] Radical d'un idéal d'un anneau commutatif

Si $I$ est un idéal d'un anneau commutatif $A$ , on appelle radical de $I$ , noté $\sqrt{I}$ , l'ensemble des éléments $x$ de $A$ tels qu'il existe un entier naturel $n$ pour lequel $x^n \in I$ . C'est un idéal de $A$ .

Exemple: $30\mathbb Z$ est le radical de $360\mathbb Z$

Si $A$ est un anneau commutatif, on a les propriétés suivantes

$\sqrt{I} \supset I$
$\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$
$\sqrt{IJ} = \sqrt{I \cap J} = \sqrt{I} \cap \sqrt{J}$
Si de plus $A$ est unitaire, $\sqrt{I}=A \Leftrightarrow I = A$

[modifier] Idéaux particuliers

Idéal primaire: dans un anneau commutatif unitaire, I est un idéal primaire ssi pour tout a et b de A tel que $ab\in I$ , si $a \notin I$ alors, il existe un entier naturel n tel que $b^n \in I$

Idéal premier: dans un anneau commutatif unitaire, I est un idéal premier ssi, I est différent de A et, pour tout a et b de A tel que $ab\in I$ , si $a \notin I$ alors $b \in I$ .

P

est un idéal premier de

A

si et seulement si

A / P

est intègre.

Idéal décomposable : dans un anneau commutatif unitaire, I est décomposable ssi il est l'intersection finie d'idéaux primaires.

Idéal irréductible : dans un anneau commutatif unitaire, un idéal I est irréductible s'il ne peut pas s'écrire comme intersection de deux idéaux J et K différents de I.

Idéal maximal : Un idéal $M$ est maximal ssi il existe exactement deux idéaux contenant $M$ à savoir $A$ et $M$ lui même.

Dans un anneau commutatif unitaire, un idéal maximal est nécessairement premier.

l'idéal

M

est un idéal maximal de

A

si et seulement si

A / M

est un corps.

L'idéal engendré par a est par définition le plus petit idéal contenant a. On le note (a).

Idéal principal : Un idéal $I$ d'un anneau $A$ est principal s'il existe un élément $a$ de $A$ tel que $I = (a)$ .

Un anneau intègre dont tous les idéaux sont principaux est dit anneau principal. Par exemple, $\mathbb{Z}$ ou l'anneau $\mathbb K[X]$ des polynômes sur un corps $\mathbb K$ sont des anneaux principaux.

article détaillé : idéal principal

Idéal radiciel : Idéal égal à son radical . C'est le cas par exemple de tout idéal premier dans un anneau commutatif unitaire.

[modifier] Autres types d'idéal

[modifier] Idéal fractionnaire

Idéal fractionnaire: si A est un anneau commutatif unitaire, les idéaux fractionnaires de A sont les A-module $x - 1 J$ où $x$ est un élément régulier (i.e. non diviseur de zéro) de A et $J$ un idéal quelconque de A. Précisément $x - 1 J$ est inclus dans $x^{-\mathbb N}J$ le localisé de l'idéal $J$ (vu en tant que A-module) en la partie multiplicative $x^{\mathbb N} \subset$ A.

En particulier, si A est un anneau intègre et si K est son corps des fractions, I est un idéal fractionnaire de A si I est un sous A-module de K et s'il existe un élément x non nul de A tel que xI $\subset$ A. (Pour faire le lien avec la définition générale ci-dessus, poser $J$ =xI.)

Exemple: Si n et p sont deux entiers , dans l'ensemble des rationnels, l'ensemble des éléments pouvant s'écrire $\frac{a}{n}$ où $a \in p\mathbb Z$ est un idéal fractionnaire sur $\mathbb Z$ .

Sur l'ensemble des idéaux fractionnaires, on peut définir des intersections, des sommes et des produits. Un idéal fractionnaire I sera inversible ssi il existe un idéal fractionnaire J tel que I.J = A.

Un cas particulier important est celui où A est un anneau d'entiers algébriques d'une extension finie du corps $\mathbb{Q}$ . On arrive alors à montrer que l'ensemble des idéaux fractionnaires est un groupe pour l'opération produit. Il est intéressant de considérer le groupe quotient des idéaux fractionnaires modulo les idéaux principaux ; on obtient ainsi une mesure du défaut de principalité, par le groupe des classes d'idéaux. Un théorème affirme que ce groupe est fini.

[modifier] Idéal sur une A-algèbre

I est un idéal d'une A-algèbre E ssi I est un idéal pour l'anneau E, stable pour la multiplication externe par des éléments de A.

[modifier] Idéal d'un treillis

Si T est un treillis, I est un idéal de T ssi I est stable pour la loi $\vee$ et si pour tous éléments x de T et y de I l'élement x $\wedge$ y appartient à J.