Matematični dokaz

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Dokàz v matematiki pomeni prikaz, da je, pri določenih aksiomih, izjava, ki nas zanima, nujno resnična.

Vsebina

1 Namen matematičnih dokazov
2 Tehnike dokazovanja
3 Znameniti matematični dokazi
4 Glej tudi

[uredi] Namen matematičnih dokazov

Dokazi se ukvarjajo z logiko, vendar navadno vključujejo tudi določeno mero naravnega jezika, zaradi česar so lahko malce nejasni. V resnici je večina dokazov v zapisani matematiki pravzaprav raba neformalne logike. V kontekstu teorije dokaza, kjer se upoštevajo formalni dokazi, takšnim ne popolnoma formalnim prikazom v matematiki pogosto rečejo »družbeni dokazi«. Z vlogo jezika in logike v dokazih se ukvarja filozofija matematike.

Včasih zadostuje, da bralca z razumljivo skico dokaza prepričamo, da se izrek dá formalno dokazati, ne da bi morali zares izvesti dolg in nejasen formalen dokaz. Vendar mora biti matematično izobraženemu bralcu povsem jasno, kako bi izrek po tej skici dokazal tudi formalno iz samih aksiomov, če bi ga moral ali želel.

[uredi] Tehnike dokazovanja

Ne glede na odnos posameznika do formalizma, je rezultat, za katerega dokažemo, da je resničen, izrek; v popolnoma formalnem dokazu bi bila to zadnja vrstica, ves dokaz pa bi prikazoval, kako ta vrstica sledi iz samih aksiomov. Ko je enkrat izrek dokazan, ga lahko uporabljamo kot osnovo za dokazovanje nadaljnjih izjav. Tako imenovani temelji matematike predstavljajo izjave, ki jih ne moremo dokazati, ali pa nam tega ni treba. Včasih so predstavljali glavnino študija filozofov matematike. Danes se ti osredotočajo bolj na prakso, se pravi sprejemljive tehnike.

Nekatere pogoste tehnike dokazovanja so:

direktni dokaz, kjer sklepi sledijo z logičnim kombiniranjem aksiomov, definicij in prejšnjih izrekov;
dokaz z indukcijo, kjer se dokaže bazni primer, in indukcijski korak, s katerim dokažemo, da iz prejšnjega primera sledijo vsi naslednji (pogosto jih je neskončno);
dokaz s protislovjem, kjer dokažemo, da iz privzete neresničnosti izjave po logičnem sklepu pridemo do protislovja, zato mora biti izjava pravilna;
konstruktivni dokaz, kjer konstruiramo konkreten primer z lastnostjo, ki dokazuje, da obstaja nekaj, ki ima to lastnost;
dokaz s surovo silo, kjer sklep dobimo tako, da ga razdelimo na končno množico posameznih primerov in dokažemo vsakega posebej.

Verjetnostni dokaz naj bi pomenil dokaz obstoja primera z metodami teorije verjetnosti - ne argument, da je izrek »verjetno« resničen. Slednji vrsti sklepanja lahko rečemo »verodostojen argument«; primer Collatzove domneve nam pokaže, kako daleč je ta od pravega dokaza. Verjetnostni dokaz je ena od številnih možnosti za dokaz izrekov o obstoju, razen konstrukcijskega dokaza.

Kombinatorični dokaz vzpostavi enakost različnih izrazov tako, da pokaže, da se na različne načine štejejo isti objekti. Navadno se za prikaz tega uporablja kakšna bijektivna preslikava.

Če želimo dokazati, denimo, da »lastnost f(X) velja za nekatere X«, potem z nekonstruktivnim dokazom dokažemo, da res obstaja X, za katerega velja f(X), vendar ne pojasni, kako lahko takšen X zares dobimo. Konstruktivni dokaz nam pojasni tudi to.

Izjava, za katero domnevamo, da je resnična, vendar še ni bila dokazana, se imenuje domneva.

Včasih je mogoče dokazati, da določene izjave nikakor ne moremo dokazati z danim naborom aksiomov; glej npr. domneva kontinuuma. Presenetljivo, po Gödlovem izreku o nepopolnosti, celo v večini aksiomskih sistemov obstajajo izjave, ki jih ne moremo niti dokazati, niti ovreči.