Démonstration

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En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes, d'établir qu'une assertion est nécessairement vraie.

Les démonstrations utilisent la logique, mais incluent habituellement des éléments du langage naturel en évitant tant que possible d'introduire des ambiguïtés.

Dans le contexte de la théorie de la preuve, dans lequel des preuves purement formelles sont considérées, des preuves qui ne sont pas entièrement formelles sont appelées des « preuves sociales ». Ce sont des preuves qui sont basées sur des affirmations considérées comme exactes parce qu'elles sont admises par un ensemble de personnes. L'idée est acceptée comme exacte lorsqu'elle fait le consensus.

Le résultat qui est démontré s'appelle un théorème.

Une fois le théorème démontré, il peut être utilisé comme base pour démontrer d'autres assertions.

Nous pouvons distinguer plusieurs techniques de démonstrations :

démonstration directe : où la conclusion est établie en combinant logiquement des axiomes, des définitions et d'autres théorèmes
démonstration inductive : où un cas fondamental est démontré, et une règle d'induction est utilisée pour démontrer une série (souvent infinie) d'autres cas
démonstration par l'absurde : où il est démontré que si une propriété était vraie, alors une contradiction logique apparaîtrait, et ainsi la propriété doit être fausse.
démonstration déductive : utilisée pour par exemple montrer l'existence d'un objet à partir de théorème assurant son existence sans avoir construit explicitement cet objet
démonstration constructive : qui consiste à construire un exemple concret possédant une certaine propriété, pour montrer qu'il existe au moins un objet ayant cette propriété.

Une assertion qui est supposée vraie mais qui n'a pas encore été démontrée est appelée une conjecture.

Parfois il est possible de démontrer qu'une certaine assertion ne peut pas être démontrée à partir d'un ensemble donné d'axiomes; c'est le cas de l'axiome du choix et de l'hypothèse du continu vis-à-vis de l'axiomatique de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, on dit alors que cette assertion est indépendante de ce système d'axiomes. Dans beaucoup des systèmes d'axiomes communs en mathématique, il existe des assertions qui ne peuvent être ni démontrées ni réfutées; voir le théorème d'incomplétude de Gödel.

Les démonstrations formelles demandent une très grande rigueur et une attention particulière; nous devons préciser les règles de logique le type de raisonnement que nous utilisons, définir éventuellement de nouveaux objets mathématiques dont nous avons besoin, rappeler les axiomes ou les théorèmes auxquels nous faisons référence, vérifier que nous sommes biens dans les conditions d'application d'un théorème avant de l'utiliser, etc.

D'autre part, il est possible d'écrire toutes les démonstrations en langage formel, mais cela se fait rarement. Trop de formalisme rendrait presque impossible la compréhension d'une démonstration et dissimulerait l'idée générale dans un symbolisme excessif. Cependant comme cela est possible en utilisant un logiciel d'aide à la preuve cela commence à se faire de plus en plus.

Il y a donc un compromis entre une rigueur très poussée sur le plan de la logique et une rigueur plus superficielle utilisant davantage le langage naturel.

Une démonstration, dans le cadre académique (cours, livre, exposé...) n'est en général pas détaillée au point d'être « juste » au sens de la logique; en général on se contente de donner des éléments suffisamment précis pour que l'auditoire/le lectorat visé soit convaincu. En effet, pour définir $1$ proprement, il faudrait déjà des pages et des pages! C'est pourquoi par exemple une démonstration donnée au niveau licence ne conviendra pas à un élève de sup : pour ce dernier, la preuve ne sera pas assez détaillée. En ce sens, une démonstration est quelque chose de très relatif.