Dokaz s protislovjem

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Dokàz s protislóvjem je vrsta logičnega argumenta, kjer za potrebe argumenta privzamemo neko predpostavko T kot pravilno in s sklepanjem iz te trditve in drugih že dokazanih trditev in aksiomov pridemo do protislovnega rezultata, iz česar lahko sklepamo, da je predpostavka T nujno logično napačna.

Tej vrsti dokaza pravimo tudi prevedba na protislovje - z latinsko tujko reductio ad absurdum v dobesednem prevodu »prevedba na absurd«; temu izrazu lahko sledimo do grškega izraza ἡ εις το αδυνατον απαγωγη, ki ga je pogosto uporabljal Aristotel in pomeni »prevedba na nemogoče«. Tovrstni dokaz uporablja zakon izključene tretje možnosti; stavek, ki ne more biti napačen, mora biti nujno pravilen.

[uredi] Zgled

Želimo pokazati, da ni racionalno število. Za potrebe dokaza s protislovjem bomo privzeli nasprotno predpostavko T:

T (začasno privzeta predpostavka): je racionalno število, torej oblike p/q, kjer sta p in q tuji celi števili.

Odtod velja

ali

Število p² je sodo, torej je sodo tudi število p. Zapišimo p in q z enoličnim razcepom na prafaktorje:

Iz (*) zapišemo, da velja

Ker je to razcep na praštevila, se mora praštevilo 2, ki se pojavlja na desni strani, nujno pojavljati tudi na levi strani enačbe, torej mora biti nek p_j = 2 (privzeti smemo, da je kar p₁ = 2). Zdaj enačbo okrajšamo z 2 in dobimo

Z istim sklepanjem kot prej smo dobili, da mora biti tudi nek q_l = 2. Torej 2 deli p in q hkrati, kar je protislovje s tem, da je p/q okrajšani ulomek (p in q sta tuji).

Edina predpostavka, ki smo jo naredili, je predpostavka T, da je racionalno število, torej mora biti ta nujno napačna. S protislovjem smo torej pravkar dokazali, da je iracionalno število.