Georg Ferdinand Cantor

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Georg Ferdinand di Ludwig Philipp Cantor, nemški matematik, * 3. marec 1845, Sankt-Peterburg, Rusija, † 6. januar 1918, Halle, Nemčija.

Georg Ferdinand di Ludwig Philipp Cantor

Vsebina

1 Življenje in delo
2 Navedki
3 Glej tudi
4 Zunanje povezave

[uredi] Življenje in delo

Cantor je bil prvi sin bogatega danskega trgovca Georga Waldemara Cantorja in njegove žene, ruske glasbenice Marije Anne Böhm. Odrekel se je judovstvu kot kakršnemu koli smislu v svojem življenju in je sprejel kot njegova družina protestantizem. S tem je le delno od sebe odmaknil probleme preganjanega ljudstva. Leta 1856 se je njegova družina preselila v Frankfurt, kjer se je nastanil njegov oče po upokojitvi. Tako je bil narodnostno vezan na tri države Rusijo, Dansko in Nemčijo. Čeprav je dal prednost Nemčiji, se mu ta ni oddolžila. Najverjetneje so otroci podedovali ljubezen in smisel za umetnost od matere, njegov brat Konstantin dar za glasbo in sestra Sofija dar za likovno umetnost. Tudi v njegovem veselem iskanju neskončnosti leži globok umetnostni čut sveta. Sem spada tudi njegova neverjetna in težko razumljiva ljubezen do teologije, ki jo je poznal do podrobnosti. Že zelo mlad je pokazal nadarjenost za matematiko in ni bilo dvoma, kaj mu bo usojeno početi v življenju. Z njegovo izobrazbo se je najprej ukvarjal zasebni učitelj, kakor je bilo tedaj v Sankt-Peterburgu običajno. Potem se je kratek čas zadržal v osnovni šoli, katero je nadaljeval v Frankfurtu in jo končal v Darmstadtu. S petnajstimi leti se je vpisal na gimnazijo v Wiesbadnu. Bil je skrajno pazljiv učenec, zavestno je izpolnjeval vse (tudi najbolj nesmiselne) zapovedi svojih učiteljev. Bil je bolj zaprt vase. Po pravici je upal, da mu bo oče pustil študirati matematiko. Vendar je imel s sinom drugačne načrte. Zaradi zagotovljene prihodnosti je moral študirati strojništvo in tehniko. K temu je pristal. Dve leti se je ukvarjal s tehniko na Univerzi v Berlinu in v tem času je očetu postalo jasno, da je pred genialnim mladeničem samo velika matematična prihodnost in mu je končno dovolil študirati čisto matematiko.

Leto dni je preživel v Zürichu in je leta 1863 po očetovi smrti prešel nazaj v Berlin, kjer je poslušal predavanja iz matematike, filozofije in fizike. V Berlinu je imel odlične profesorje, velike aritmetike, Kummerja, Weierstrassa in sumničavega Kroneckerja. Usmerili so ga na branje klasikov matematike, predvsem Gaussa in njegovega dela Disquisitiones Arithmeticae, iz katerega so se učile generacije prvorazrednih matematikov. V veliki Gaussovi knjigi je našel tudi svojo diplomsko nalogo, povezano z reševanjem nedoločene enačbe oblike $a x 2 + b y 2 + c z 2 = 0$ . V tem delu, kot tudi v večini svojih zgodnjih delih, je kazal veliko željo, da bi obvladal matematično nasledstvo zaradi zaupanja vase in da bi krenil v samostojna raziskovanja. Vprašanja, ki so ga čakala, so bila preveč obsežna, da bi se lahko z njimi spoprijel golobradi mladenič. Zahtevala so več od intuitivnega pristopa, zrelost in dovršeno logiko. Takoj se je povezal z Gaussovo teorijo števil, da bi kasneje prešel na trigonometrijske vrste. V teh letih sta mu bila vodnika s svojo sistematičnostjo in temeljitostjo Gauss in Weierstrass. Leta 1867 je na Univerzi v Berlinu doktoriral. Zaupanje, ki ga je čutil v sebi, mu je vračalo vero v lastne moči. Pri ukvarjanju s potenčnimi vrstami se je soočil s starima filozofskima problemoma neskončnosti, zveznostjo in konvergenco kot procesoma neskončnega približevanja k mejni vrednosti. Ukvarjal se je s problemom enoznačnosti Fourierjeve vrste. Njegova trditev o enoznačnosti vrste je, da če za vsak x iz intervala $< - π,π >$ vrsta:

${a_0\over 2} = \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos nx + b_n \cos nx \right) \; ,$

kjer so:

$a_0 = {1\over \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\, dt \; ,$

$a_n = {1\over \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos nt\, dt \; \hbox{pri} \; n = 1,2,3, ...$

in:

$b_n = {1\over \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin nt\, dt \; \hbox{pri} \; n = 1,2,3,... \; .$

konvergira k 0, potem težijo k nič vsi $a n$ , $b n$ . Videl je, da trditev ostaja resnična tudi za šibkejšo predpostavko: ta vrsta konvergira k nič za vsak x iz intervala $< - π,π >$ , razen za končno število izjem. Pozneje se je izkazalo, da bi lahko bilo teh izjem v nekem smislu neskončno mnogo. Kaj to pravzaprav pomeni? Svoja dela je začel objavljati leta 1870, nadaljeval pa jih je več let. Pred tridesetim letom je objavil svoje izvirno delo o teoriji vrst v znamenitem Crelleovem Journalu. Nikoli ni bil v velikem materialnem pomanjkanju, vendar bi mu njegov ugled v matematičnem svetu lahko omogočil še boljše prihode. Kot tudi mnogi drugi profesorji matematike je hotel mesto v Berlinu in od leta 1869 se je moral zadovoljiti s Hallejem, kjer je bil najprej docent pozneje pa profesor do leta 1905. Ko je opravil izpite, ki so mu bili težko breme in se usposobil za pedagoško prakso je kratek čas preživel kot predavatelj v dekliški šoli v Berlinu kar je bil njegov edini stik z mestom o katerem je sanjal. Z razvojem svoje teorije neskonšnosti in transfinitnih števil je proti sebi izzval najmočnejšega tekmeca, neomajnega in sumničavega matematika Leopolda Kroneckerja. Njun spor je imel značaj boja na življenje in smrt. Bil pa je to boj popolnoma psihično neenakopravnih ljudi. Stabilni Kronecker je imel veliko premoč pred preobčuljivim Cantorjem. Zaradi tega tudi ni mogel preiti v Berlin, kjer je njegov miselni nasprotnik vodil glavno besedo in pozneje doživel težak živčni zlom in zdravljenje.

Istega leta 1874, ko je objavil svoje prvo revolucionarno delo se je oženil z Vali Gutman, ki mu je rodila dva sinova in štiri hčere. Nihče od njih nikoli pozneje ni pokazal najmanjšega zanimanja za matematiko. Najboljši prijatelj družine, edini veliki matematik, resnični zagovornik Cantorjevih zamisli tedaj, je bil Dedekind. Pozneje se je njegovim mislim pridružil Hilbert in na nek način tudi Russell, vendar je bil v času objave svojih glavnih del popolnoma sam. Poleg Kroneckerja je njegove glavne izsledke zavračal tudi Klein. Poincaré je v začetku bil njegov pristaš, pozneje pa je pobegnil na drugo stran in verjel, »da se bo matematika ozdravila bolezni Cantorjeve teorije«. Njegovi novotarski matematiki so nasprotovali še Weyl, Brouwer in Wittgenstein.

Ker se je Kronecker včasih skliceval na boga, je imel Cantor v kriznih trenutkih vtis, da je tudi sam bog proti njegovi teoriji neskončnosti. S svojimi deli je poglobil razkol med tedanjim matematičnim vedenjem. Tako se je v teh letih ukvarjal s teorijo iracionalnih števil, kjer je podal aritmetično definicijo iracionalnih števil. Najbolj znan pa je po svoji teoriji množic (Mengenlehre). S to teorijo je ustvaril popolnoma novo področje matematičnega raziskovanja, ki zadošča tudi najbolj prefinjenim zahtevam glede strogosti, če sprejmemo njene predpostavke. Najprej je v delovno polje uvedel pojem množice, preslikavo dveh množic in končno pojem enake moči dveh množic. Prve rezultate je objavil leta 1874. Uvedel je pojem števnosti množice in pokazal, da je množica racionalnih števil števna. Že leta 1873 se je v pismu Dedekindu vprašal ali je množica realnih števil števna. Čez nekaj tednov mu je spet pisal, da je množica realnih števil neštevna. Na genialni način je leta 1874 dokazal da je transcendentnih števil več od algebrskih. S tem odkritjem je dobil mnogo pristašev svoje teorije. Leta 1877 je pokazal tudi, da množica realnih števil ustreza številu točk na daljici, premici, v kvadratu, na ravnini, na kocki, v prostoru do hiperkock in prostorov višjih razsežnosti. Tako je kvadrat v ravnini ekvipotenčen z dolžino. V pismu Dedekindu je to tolmačil z besedami: »Vidim to, ampak tega ne morem verjeti«. Ti rezultati so potekali v času, ko se je s Peanovim in Jordanovim delom začela podirati enostavna Evklidova zgradba geometrije na njenih najosnovnejših pojmih kot sta to krivulja in razsežnost. Cantorjeva čisto teoretična dejstva so oživela v konkretnih na novo opredeljenih pojmih. Leta 1883 je izdal Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. V teh člankih je razvil teorijo transfinitnih kardinalnih števil, ki temelje na sistematičnem obravnavanju dejanske neskončnosti in so cela hierarhija neskončnosti. Pri svojih razmišljanjih je uporabljal zamisel prirejanja dveh zaporedij. S tem je postavil povratno enolično zvezo med dvema prirejenima množicama. Zakonitosti, ki veljajo za neskončne množice, niso vedno preproste posplošitve naših končnih izkušenj. Najmanjše transfinitno kardinalno število $\aleph_0$ je pripisal števni množici, kontinuumu je pripisal večje transfinitivno število, kar je omogočilo ustvariti aritmetiko transfinitnih števil, ki je analogna navadni aritmetiki. Vsaka končna množica ima tako končno kardinalno število. S svojim diagonalnim postopkom (sklepom) iz leta 1890 je dokazal, kar je slutil že prej, da je množica realnih števil neštevna in da je zato moč take množice večja od moči množice racionalnih števil. Ne obstaja povratno enolična preslikava množice realnih števil na množico celih števil. Moči množice naravnih števil je zato dal kardinalno število $\aleph_0$ . Obe, množica sodih in množica lihih števil, imata tudi kardinalno število $\aleph_0$ . Tako je $\aleph_0 + \aleph_0 = \aleph_0$ , kakor je tudi $\aleph_0 + 1 = \aleph_0$ . Množica realnih števil tvori večjo neskončno množico. Dal ji je vrednost $\aleph_1$ . Menil je, da je $\aleph_1$ prvo kardinalno število večje od $\aleph_0$ . Definiral je tudi transfinitna ordinalna števila in pri tem pokazal, kako se dajo urediti neskončne množice. Dokazal je, da je število 2 z eksponentom $\aleph$ večji $\aleph$ , ki ga ne moremo postaviti v povratno enolično povezavo z $\aleph$ v eksponentu. Tako se lestvica $\aleph$ nadaljuje brez konca, neskončna aritmetika pa gre takole: $\aleph_0 = \aleph_0 + n = n \aleph_0 = \aleph_0^n$ , $2^{\aleph_n} = \aleph_{n+1}$ , $\aleph_0^{1/2} = \aleph_0$ , $\aleph_0 + \aleph_1 = \aleph_1$ , $\aleph_1 \otimes \aleph_3 = \aleph_3$ , itd. Ni pa mu uspelo dokazati ali je moč kontinuuma c (množica $\mathbb{R}$ preslikana na realno os) enaka $\aleph_1$ . Pozneje sta Gödel in Cohen ugotovila, da aksiomi standardne teorije množic ne omogočajo rešitve tega vprašanja. Teorije množic zato delijo na cantorske in necantorske. Prva predpostavlja da je $c = \aleph_1$ , druga pa da je nešteto transfinitnih števil med $\aleph_0$ in c. To njegovo znamenito domnevo, ki so jo začeli imenovati »domneva kontinuuma« so razložili tako, da so pokazali da je neodločljiva. Nekaj podobnega se je zgodilo potem, ko so odkrili, da se 5. Evklidovega izreka o vzporednicah ne da dokazati. Izrek lahko nadomestimo z drugimi možnostmi ter tako geometrijo razdelimo na evklidske in neevklidske geometrije. Zadnje korake k dokazu o neodvisnosti njegove domneve je naredil Cohen, za kar je leta 1966 v Moskvi prejel Fieldsovo medaljo. Kot so pozneje ugotovili je Cantor vedel o prvih paradoksih teorije množice, problemih, ki jih je objavil Burali-Forti leta 1897 že dve leti prej.

Leta 1899 je odkril podoben paradoks z množico vseh kardinalnih števil. Bil je že bolj previden in je takšno množico vzel za protislovno. Ko so se pojavila ta protislovja, jih Cantor in njegovi somišljeniki niso imeli za pomembne. Imenovali so jih paradoksi, ker so verjeli, da se bo problem rešil in razjasnil. Ti paradoksi pa so se kopičili. Prišel je Russllov paradoks množice E vseh množic, ki ne vsebuje same sebe. Cantor je dokazal pomemben izrek: če je P(A) množica vseh podmnožic A, je kardinalno število //P(A)// večje od kardinalnega števila //A//. Če označimo z V množico vseh množic, je tedaj //P(V)// ≤ //V//, kar je protislovje. Videti je bilo, da je njegova teorija množic izgubljena. Njeni nasprotniki so spet našli razlog za posmeh in pripombe o tem, kam je pripeljalo nekritične matematike ukvarjanje z neskončnostjo. Vendar se je na srečo teorije množic pokazalo, da je tudi logika nelogična. Cantorjeva odkritja so bila nadaljevanje antičnih sholastičnih razmišljanj o naravi neskončnosti, česar se je sam dobro zavedal. Branil je neomejeno priznanje dejanske neskončnosti, ki jo je zagovarjal sv. Avguštin, moral pa se je braniti pred nasprotovanjem mnogih matematikov, ki so neskončnost priznavali samo kot proces, izražen z $\infty$ . Njegov glavni življenjski nasprotnik v tem je bil Kronecker, ki je bil predstavnik čisto nasprotne smeri v istem procesu aritmetizacije matematike. Cantorjeva teorija se je le stežka uveljavljala. Napadi kolegov in nezaupanje so ga zelo prizadeli. Pomladi 1884 je doživel težak živčni zlom. Čeprav so bili njegovi nasprotniki delno krivi za njegov padec, je v veliki meri prispevala k temu njegova preobčutljivost. Polagoma je sicer okreval, toda ustvarjal ni več. V svojih težkih časih je objavljal v časopisu švedskega matematika Mittag-Lefflerja, prijatelja Kovalevske. Z dobročutnim Švedom je izmenjal mnoga pisma kjer je rad poudarjal svoje pretirano nezaupanje vase. V enem letu mu je poslal celo 52 pisem. To početje mu je bilo del terapije. Pred koncem Kroneckerjevega življenja se je spor med njima relativno zgladil. S svojim delom pa sta oba darovala matematiki neprecenljivo veliko in jo obogatila ter približala popolnosti, ki jo je nemogoče doseči.

Končno je Cantor dosegel vse priznanje, ko je postalo vse bolj in bolj očitno, kako zelo pomembna je njegova teorija za teorijo realnih funkcij in topologijo, še posebno pa, ko je Borelov učenec Lebesgue leta 1901 teorijo množic obogatil s svojo teorijo mere. Brez zadržka pa je njegova dognanja sprejela šele matematika 20. stoletja. Njegovo teorijo so prepoznali kot pomemben paradigmatični premik. (glej intuicionizem in neskončnost. Njegova teorija množic se nahaja v temeljih sodobne matematike.

Znan je njegov Cantorjev izrek iz teorije funkcij: če je $y = f (x)$ zvezna na segmentu (a,b), je enakomerno zvezna na (a,b).

Cantor je umrl v bolnici v Halleju.

[uredi] Navedki

»Neque enim leges intellectui aut rebus damus ad arbitrium nostrum, sed tanquam scribae fideles ab ipsius naturae voce latas et prolatas excipimus et describimus...« —G. F. Cantor

»Bistvo matematike tvori njena svoboda...« —G. F. Cantor

»Bistvo matematike je v njeni svobodi, da po lastni volji ustvarja pojme in aksiome...« —G. F. Cantor

»Nič protislovnega ni v tem, kar se pogosto dogaja v primeru neskončnih množic, da imata dve množici, od katerih je ena del ali sestavni del druge, popolnoma enako kardinalno število...« —G. F. Cantor

»Pod pojmom množica razumemo skupino predmetov, združenih v celoto, ki si jih naša intuicija ali naša misel dobro predstavljata...« —G. F. Cantor

»Splošna teorija množic v celoti pripada metafiziki...« —G. F. Cantor

»Množico si predstavljam kot prepad...« —G. F. Cantor

»Cantorjeva transfinitna števila so matematikom odprla nov »raj«...« —D. Hilbert

[uredi] Glej tudi

absolutna neskončnost
Cantorjeva množica
Cantorjev prah
Smith-Volterra-Cantorjeva množica
seznam nemških matematikov

[uredi] Zunanje povezave

Stran o Georgu Ferdinandu Cantorju Univerze St Andrews (v angleščini)

Vzpostavljeno iz »http://sl.wikipedia.org../../../g/e/o/Georg_Ferdinand_Cantor_07b4.html«

Kategorije: Rojeni leta 1845 | Umrli leta 1918 | Nemški matematiki | Predavatelji na Univerzi v Berlinu | Georg Ferdinand Cantor

We provide Linux to the World

Georg Ferdinand Cantor

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Vsebina

[uredi] Življenje in delo

[uredi] Navedki

[uredi] Glej tudi

[uredi] Zunanje povezave

Views

Navigacija

občestvo

podpora

Iskanje

V drugih jezikih