Faktoriális

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematikában egy n nemnegatív egész szám faktoriálisának az n-nél kisebb vagy egyenlő pozitív egész számok szorzatát nevezzük. Jelölése: n!, amit „n faktoriális”-nak vagy „n faktor”-nak olvasunk ki. Az n! jelölést Christian Kramp vezette be 1808-ban.

A faktoriálisok sorozata n = 0, 1, 2,... így kezdődik:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, ...

Ez a sorozat azt mutatja, hogy milyen gyorsan növekszik a faktoriális értéke. A 70! = 1,19785717 × 10¹⁰⁰, meghaladja a „googol” értékét, egész pontosan

11 978 571 669 969 891 796 072 783 721 689 098 736 458 938 142 546 425 857 555 362 864 628 009 582 789 845 319 680 000 000 000 000 000

[szerkesztés] Definíció

A faktoriális függvény formális definíciója:

$n!=\prod_{k=1}^n k$ minden n ≥ 0 egész számra.

Például:

$5 ! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \$

A fenti definíció már magában foglalja azt a megállapodást, hogy

$0! = 1 \$ ,

összhangban azzal, hogy a permanenciaelv értelmében a szorzandók nélküli szorzat értékét 1-nek vesszük. Ez az értelmezés valóban hasznosnak is bizonyul, mert

az (n + 1)! = n! · (n + 1) rekurzió érvényben marad n = 0-ra;
ez a definíció passzol számos egyszerű kombinatorikai azonossággal, ha 0 méretű dolgokra mondjuk ki őket,
- például egy üres halmaz kombinációinak vagy permutációinak száma nyilván 1.

[szerkesztés] A faktoriális nagyságrendje

Az $n \to n!$ függvény gyorsabban tart a végtelenhez, mint a polinomok vagy az exponenciális függvények. Nagyságáról aszimptotikus becslést ad a Stirling-formula.

[szerkesztés] Kiterjesztés

A faktoriális – észszerű feltételek mellett – egyértelműen terjeszthető ki a komplex számok halmazára a negatív egész számokat kivéve; lásd: Gamma-függvény.