Fattoriale crescente

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In matematica, per fattoriale crescente di x con n fattori si intende il prodotto della forma

$x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1) = \prod_{k=1}^n (x+k-1)$ .

Qui n denota un intero naturale, mentre x può denotare un numero reale o complesso, oppure una variabile formale o anche un elemento generico di un anello (in tal caso gli interi si identificano con i multipli dell'elemento unità dell'anello).

Per denotare la precedente espressione si usano varie notazioni:

$(x)_n\,:=\,x^{\overline{n}}\,:=\,x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)\,:=\,\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}$

La prima notazione spesso utilizzata, soprattutto per studiare funzioni speciali, viene detta simbolo di Pochhammer, in quanto è stata introdotta dal matematico tedesco Leo August Pochhammer. Purtroppo taluni, in combinatorica, usano la precedente scrittura per denotare il fattoriale decrescente di x con n fattori

$x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) = \prod_{k=1}^n (x-k+1)$ ;

questa espressione usando il simbolo di Pochhammer sopra definito sarebbe data da

$\,(x-n+1)_n\,$

Una notazione alternativa utilizzata da Ronald L. Graham, Donald E. Knuth e Oren Patashnik nel loro libro Concrete Mathematics esprime rispettivamente il fattoriale crescente come

$x^{\overline{n}} \,:=\, x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1) = (x)_n$

e il fattoriale decrescente come

$x^{\underline{n}} \,:=\, x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) = (x-n+1)_n$ .

Essa ha due pregi: distinguersi nettamente da altre notazioni ed evidenziare il parallelismo tra le due costruzioni.

Per $n = 0$ fattoriale crescente e fattoriale decrescente danno il prodotto vuoto, cioè

$x^{\overline{0}} = x^{\underline{0}} = (x)_0 = 1$ .

Sia il fattoriale crescente che il fattoriale decrescente possono essere espressi mediante un coefficiente binomiale:

${x \choose n} = \frac{x^{\underline{n}}}{n!}$

${x+n-1 \choose n} = \frac{x^{ \overline{n}}}{n!} = \frac{(x)_n}{n!}$

Quindi le numerose identità riguardanti i coefficienti binomiali conducono a corrispondenti identità per i fattoriali crescenti e decrescenti.

[modifica] Collegamento con il calcolo umbrale

I fattoriali crescenti e i fattoriali decrescenti possono essere interpretati come polinomi nella variabile x e le due successioni

$x^{\overline{n}} \ \mbox{ per } \ n=0,1,2,... \qquad x^{\underline{n}} \ \mbox{ per } \ n=0,1,2,...$

come successioni di polinomi. Questi hanno ruoli particolari nelle formule che riguardano l'azione sui polinomi di operatori come l'operatore alle differenze in avanti Δ, formule corrispondenti al teorema di Taylor del calcolo infinitesimale indotta dall'azione dell'operatore derivazione. In queste formule e in molte altre circostanze i fattoriali crescenti e i decrescenti nel calcolo delle differenze finite giocano il ruolo che i polinomi $\,x^n\,$ giocano nel calcolo differenziale. Si osservi ad esempio la somiglianza fra la

$\,\Delta (x)_k = k (x)_{k-1}\,$

e la

$\,D x^k = k x^{k-1}\,$

(dove D denota la differenziazione rispetto alla variabile x). La teoria che consente di trattare sistematicamente e rigorosamente queste somiglianze è l'odierno calcolo umbrale. Più specificamente le teorie che riguardano relazioni di questo genere coinvolgenti polinomi come i fattoriali crescenti e i decrescenti sono la teoria delle sequenze polinomiali di tipo binomiale e la teoria delle successioni di Sheffer.