階乘

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自然數n的階乘（factorial）是所有小於或等於n的正整數的積，寫作n!。1808年基斯頓·卡曼引進這個表示法。

$n!=\prod_{k=1}^n k$ 對於所有 $n\ge0$

即是n!=1×2×3×...×n

规定0!=1。這條式子令階乘的遞迴定義在n=0時有效：(n+1)!=n!(n+1)，亦令很多組合數學的恆等式在大小為零時仍有效。

階乘亦可以用伽瑪函數定義，令非整數的數亦有效：

$z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt$

[编辑] 應用

[编辑] 計算

當n不太大時，普通的計數機都可以計算。大部分計數機能夠處理最大的n的階乘是69!，因為70!>10¹⁰⁰

當n很大時，可以用斯特林公式估計︰

$n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

[编辑] 變化

[编辑] 伽瑪函數

伽瑪函數

伽瑪函數將階乘推廣到複數，其定義為

$\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, \mathrm{d}t. \!$ 。

它滿足 $\Gamma(n+1)=n\Gamma(n) \,$ 。

[编辑] 遞進/遞降階乘

遞降階乘： $(x)_n = x^{\underline{n}} = x(x-1)...(x+n+1)$
遞進階乘： $x^{\overline{n}} = x(x-1)...(x-n+1)$
$x^{\overline{n}}= (-1)^n (-x)^{\underline{n}}$

[编辑] 多重階乘

n!!表示雙重階乘，其定義為：

$n!!= \left\{ \begin{matrix} 1, \\ n(n-2)!! \end{matrix} \right.$	若n=1或n=2
	若 $n\ge2$

[编辑] hyper階乘

hyper階乘(hyperfactorial)寫作H(n)，其意思為：

$H(n) =\prod_{k=1}^n k^k =1^1\cdot2^2\cdot3^3\cdots(n-1)^{n-1}\cdot n^n$

hyper階乘和階乘差不多，但產生更大的數。hyper階乘的增長速度卻並非跟一般階乘的差很遠。

[编辑] 超級階乘

1995年，尼爾·斯洛恩和西蒙·普勞夫定義了超級階乘(superfactorial)為首n個階乘的積。即 sf(n)=1!×2!×3!×...×n!(OEIS:A000178)。一般來說

$\mathrm{sf}(n) =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.$

柯利弗德·皮寇弗在他的書Key to Infinity定義了另一個超級階乘，寫作n$̣（$̣實際上應該是!和S重疊在一起）：n$̣=n⁽⁴⁾n，⁽⁴⁾表示hyper4，使用高德納箭號表示法即n$̣=(n!)↑↑(n!)。這個數列：

1$̣=1

2$̣=2²=4

$3\$=6\uparrow\uparrow6=6^{6^{6^{6^{6^6}}}}$

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