Dernier théorème de Fermat

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Le dernier théorème de Fermat, ou théorème de Fermat-Wiles, énonce qu'il n'y a pas de nombres entiers positifs non nuls $x$ , $y$ et $z$ tels que

$x^n+y^n=z^n \,$

où $n$ est un entier strictement supérieur à 2. (Pour les premières valeurs de $n$ , il existe une infinité de solutions - le cas $n = 1$ est évident, le cas $n = 2$ admet notamment la solution classique 3² + 4² = 5² (voir triplet pythagoricien).

Le théorème doit son nom à Pierre de Fermat qui écrivit en marge d'une traduction de l'Arithmetica de Diophante, à côté de l'énoncé de ce problème :

J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir.

(„Cubum autem in dous cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere : cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.“)

Après avoir été l'objet de fiévreuses recherches pendant plus de 300 ans (cette note laissait penser qu'une démonstration élémentaire était possible - ce qui a donc vivement émoustillé la curiosité des gens), il a finalement été démontré en 1994 par Andrew Wiles. La plupart des mathématiciens pensent aujourd'hui que Fermat s'était trompé en pensant avoir correctement démontré sa conjecture : la preuve connue (raffinée depuis) fait appel à des outils très puissants de théorie des nombres.

Plus précisément, Wiles a prouvé un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, dont on savait depuis quelque temps déjà qu'il impliquait le théorème. La preuve fait appel aux formes modulaires, à des représentations galoisiennes…

La preuve passait par l'établissement partiel de la conjecture de Shimura-Taniyama dont les implications pour le théorème de Fermat suivaient des idées d'Yves Hellegouarch, Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre et Ken Ribet.

Ce théorème n'a aucune application en soi : c'est par les idées qu'il a fallu mettre en œuvre pour le démontrer, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire, qu'il prend une telle valeur. L'article Démonstrations du dernier théorème de Fermat montre quelques exemples d'outils découverts et utilisés pour la résolution de l'équation.

On peut comprendre ce théorème graphiquement en considérant la courbe d'équation xⁿ + yⁿ = 1 : si n > 2, cette courbe ne passe par aucun point à coordonnées rationnelles non nulles.

[modifier] Remarques

L'usage voulant qu'on donne à un théorème le nom de celui qui en a apporté la démonstration, l'appellation de « théorème de Fermat » ne se justifie pas à proprement parler. Il faudrait parler soit d'une « conjecture de Fermat », soit du « théorème de Wiles ».

Ce théorème est le sujet du livre « Le Dernier Théorème de Fermat » de Simon Singh, disponible au format poche sous le numéro ISBN 2012789218

Contrairement à ce qu'on a pu parfois voir dans des journaux ou à la télévision (en raison du type de formule qui y figure), ce théorème n'a pas vraiment de relation avec le théorème de Pythagore : en fait, l'objet du théorème de Pythagore est de donner une caractérisation géométrique des triangles pythagoriciens, c'est-à-dire dont les longueurs des côtés forment un triplet pythagoricien, ces triplets étant eux-mêmes les solutions de l'équation de Fermat dans le cas n = 2 ; l'analogie avec le théorème de Fermat est donc la question de l'existence de triplets pythagoriciens, et la question de leur interprétation géométrique est nettement une autre question. Remarquons enfin que Fermat s'est évidemment inspiré de la notion de triplet pythagoricien : sa conjecture est en effet notée en marge d'un exposé de Diophante sur les triplets pythagoriciens.

Pour le cas n = 2, toutes les solutions non triviales sont données par :

$x=2kml\,$ , $y=k(m^2-l^2)\,$ , $z=k(m^2+l^2)\,$ où k entier, m>l, m et l de parités différentes. Ces entiers, que l'on appelle parfois les triplets de Pythagore, permettent entre autres de tracer facilement un triangle rectangle.