E=mc²

L'équation E = mc² est sans doute la plus célèbre au monde. Formulée en 1905 par Albert Einstein dans le cadre de la relativité restreinte, elle signifie que

« L'énergie au repos (E) d'une particule libre, est égale à sa masse (m) multipliée par le carré de la vitesse de la lumière (c²) dans le vide. »

Sa célébrité est probablement due au fait qu'elle a permis d'envisager que l'humanité pourrait extraire un jour à partir de la masse de la matière des énergies gigantesques, et c'est ce qui s'est produit avec la réalisation des piles atomiques ainsi que des bombes du même nom. Rappelons que la France produit en 2006 environ 80% de son électricité dans des centrales nucléaires dont le bilan d'énergie peut être approximativement évalué à partir de cette formule.

On a donc, pour l'équation E = mc² :

E l'énergie, en Joules dans le système d'unité international, mais souvent exprimée en électron-volts, unité plus adaptée;
m la masse en kilogrammes ;
c la vitesse de la lumière dans le vide : c= 299 792 458 m/s, soit c²=89 875 517 873 681 764 m²/s² très exactement.

Au repos signifie que la particule, ou tout autre objet, a une vitesse nulle par rapport au référentiel choisi.
Libre signifie que la particule n'est soumise à aucun potentiel.

Sommaire

1 Historique
2 Interprétation
3 Mise en évidence par le rapport E/m
4 Généralisation
5 Cas particulier d'un corps de masse nulle
6 E en unités de masse
7 Limite non-relativiste
8 Autres notations possibles
9 Notes
10 Voir aussi

[modifier] Historique

En 1900 Henri Poincaré est le premier à obtenir et à publier la formule $E = m c 2$ , ou plutôt $m = E / c 2$ . Il s'agit de la masse d'un fluide fictif représentant le rayonnement électromagnétique, conformément à la théorie de Maxwell.

En 1904 et 1905, Friedrich Hasenöhrl obtint une équation que nous pouvons réécrire $E=\frac{4}{3}mc^2$ en étudiant la pression de radiation dans une cavité fermée. Le facteur 4/3 est dû à une erreur du physicien. Il est intéressant de voir qu'on peut obtenir la relation uniquement en employant les équations de Maxwell (ce résultat n'est cependant pas étonnant dans la mesure où ces équations se formulent le plus naturellement dans le cadre de la relativité restreinte).

Philipp Lenard présenta l'équation sous le nom de principe d'Hasenöhrl, pour en faire une création aryenne^[1]

[modifier] Interprétation

Cette formule, qu'elle soit en unités de masse (E = m) ou en unités conventionnelles (E = mc²), lie directement l'énergie E d'un corps à sa masse m. Elle dit en effet que la masse est une forme d'énergie tout comme le sont l'énergie potentielle ou l'énergie cinétique. L'énergie d'un corps n'est donc pas uniquement de l'énergie cinétique mais aussi de la masse. Et tout comme l'énergie cinétique peut être, par exemple, échangée sous forme de chaleur, la masse peut aussi être échangée sous forme de chaleur, d'énergie cinétique ou en toute autre forme d'énergie.

[modifier] Mise en évidence par le rapport E/m

Si l'on s'intéresse au rapport E/m (énergie sur masse), comme par exemple dans le cas de la désintégration du positronium qui émet deux rayons gamma d'énergie (mesurée) 0,511 MeV = 0,8186.10^-13 J, alors on obtient :

$\sqrt{E/m}=\sqrt{\frac{0.8186 \cdot 10^{-13}}{9.1083 \cdot 10^{-31}}} = \sqrt{8.9874 \cdot 10^{16}}= 2.99756 \cdot 10^8 m.s^{-1}$

Cela correspond à la vitesse c de la lumière dans le vide : on retrouve, expérimentalement, l'équation $E = m c 2$ .

[modifier] Généralisation

L'équation $E = m c 2$ n'est valable qu'au repos i.e. quand l'objet a une vitesse nulle par rapport au référentiel choisi. Elle n'est plus valable s'il acquiert une vitesse v par rapport à ce référentiel. Son énergie observée E va alors être déterminée d'après la relation suivante qui découle de la relativité restreinte tenant compte de l'énergie cinétique ainsi ajoutée par cette vitesse 'v':

$E= \gamma m c^2\,$ avec $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ le facteur de Lorentz.

Si le corps a une masse non nulle, et si sa vitesse v se rapproche de la vitesse de la lumière c, alors v²/c² tend vers 1, et son énergie

E = γ m c 2

devient extrêmement grande i.e. tend vers l'infini quand v tend vers c. Ceci l'empêche d'atteindre exactement la vitesse c, qui est donc une limite.

Une autre façon d'écrire ce résultat utilise la quantité de mouvement $p = γ m v$ du corps: $E^2=m^2c^4 + p^2c^2\,$ .
Et si l'on veut faire le lien avec la mécanique classique, on doit introduire la notion d'énergie cinétique $T$ : $E=T+mc^2\,$ .
On en déduit alors les formules :

$p 2 c 2 = T 2 + 2 T m c 2$
$T = (γ - 1) m c 2$

[modifier] Cas particulier d'un corps de masse nulle

Dans le cas où le corps a une masse nulle, on utilise l'équation $E^2=m^2c^4+p^2c^2\,$ , qui s'écrit alors $E=pc\,$ . Un tel corps a une vitesse égale à c.
En physique des particules, plusieurs particules atteignent la vitesse c par leur masse nulle : les photons qui transportent le rayonnement électromagnétique, les bosons de jauge qui transmettent les autres interactions fondamentales du modèle standard. Dans le cadre de la relativité générale les ondes gravitationnelles se déplacent aussi à la vitesse de la lumière et la particule associée, appelée graviton devrait également être de masse nulle. Néanmoins à ce jour, et contrairement à toutes les autres particules citées, ni le graviton ni la radiation gravitationnelle associée n'ont été observées expérimentalement.

[modifier] E en unités de masse

Toutes les formules utilisées ci-dessus sont en unités conventionnelles. Cependant elles peuvent aussi être présentées en unités de masse.
Cela signifie que l'on considère les kilogrammes comme unité d'énergie : d'après la formule $E = m c 2$ , c² peut être utilisé comme un facteur de conversion des kilogrammes en Joules. Ainsi, la formule $E = m c 2$ où E est exprimée en unités conventionnelles (Joules), peut être exprimée en unités de masse : $E = m\,$ .

De la même façon, le temps t peut être exprimé en mètres au lieu de l'être en secondes. Cela se fait en multipliant t par c, et en remplacant t par ct dans les équations utilisées. La constante c ne devient alors un facteur de conversion des secondes en mètres.

Remarque : c² ne peut pas être considéré comme facteur de conversion de la masse à l'énergie, mais seulement des kilogrammes aux Joules. La même remarque s'applique à c.

[modifier] Limite non-relativiste

L'équation $E = T + m c 2$ avec $T = (γ - 1) m c 2$ , dans laquelle T représente l'énergie cinétique, peut être approximée lorsque la vitesse de l'élément est faible devant c.
Pour une vitesse de l'élément de masse m beaucoup plus petite que c, le facteur γ peut être développée mathématiquement en une série pour nous donner :
$\gamma = 1+\frac{v^2}{2c^2}+\frac{3v^4}{8c^4}+ ...$ .
De cette série, seuls les deux premiers termes sont physiquement significatifs, d'où :
$(\gamma-1) = \frac{v^2}{2c^2}$ .
En remplaçant ce terme dans l'expression de l'énergie cinétique, on trouve $T = \frac{1}{2}mv^2$ , qui correspond à l'énergie cinétique en mécanique non-relativiste. Ainsi, la théorie relativiste rejoint la théorie classique lorsque les vitesses des éléments massifs sont négligeables devant celle de la lumière. Avec la même hypothèse, l’énergie totale de l’élément massif, peut être approchée par l'expression $E = m(\frac{1}{2}v^2+c^2)$ .

[modifier] Autres notations possibles

Dans l'équation $E = m c 2$ , E n'est pas l'énergie totale $E t o t$ , mais seulement l'énergie au repos $E 0$ . En effet, l'énergie totale comprend l'énergie au repos (la masse m), et l'énergie cinétique T.
Pour moins de confusion, il faudrait écrire : $E 0 = m 0 c 2$ où $m 0$ est la masse au repos. Ainsi, en posant :

E = E 0 + T

(l'énergie totale)

m = γ m 0

(la masse observée),

on retrouve $E = m c 2$ , qui est alors valable dans le cas où le corps n'est pas au repos.

Remarque : le fait qu'un objet soit en mouvement ou au repos, dépend du référentiel à partir duquel on prend les mesures. Un objet peut donc être en repos pour un référentiel A et être en mouvement pour un référentiel B, et donc avoir une énergie totale différente d'un référentiel à l'autre. Cependant, l'énergie au repos i.e. la masse m, est indépendante du référentiel, c'est-à-dire qu'elle a la même valeur dans n'importe quel référentiel.