Équation

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En mathématiques, une équation est un problème exprimé (en général) sous la forme d'une expression qui lie différentes quantités. Résoudre une équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines quantités, les inconnues, des valeurs qui rendent l'énoncé vrai. Ces valeurs possibles sont appelées solutions de l'équation.

N'importe quel problème mathématique, ou presque, peut être vu comme une équation. Néanmoins, une équation se présente très souvent sous la forme d'une égalité, dans laquelle les valeurs de certaines variables (inconnues ou paramètres) ne sont pas spécifiées, et de la donnée des ensembles où l'on cherche des valeurs pour les inconnues. C'est le cas par exemple de l'équation

$x^2+2x+1=0, \quad x \in \mathbb R$

d'inconnue x. On réserve des noms particuliers à certains types d'équations. Ainsi, lorsqu'une équation se présente sous la forme d'une inégalité, on parle plutôt d'inéquation. Lorsqu'elle est écrite comme la « combinaison » de plusieurs équations plus simples qui doivent être vérifiées simultanément, on parle de système d'équations ou simplement de système.

Certaines informations nécessaires à la compréhension et la résolution d'une équation sont parfois sous-entendues. En particulier, une convention usuelle de notation veut que les lettres du début de l'alphabet (a, b, A, B...) représentent des paramètres, alors que celles de la fin de l'alphabet (principalement x, y, z, X) désignent des inconnues. Ainsi « Résoudre l'équation $a x 2 + b x + c = 0$ , d'inconnue $x\in \mathbb R$ , pour toute valeur des paramètres $a, b, c \in \mathbb R$ » pourra s'abréger sans trop d'ambiguïté en « Résoudre dans $\mathbb R$ : $a x 2 + b x + c = 0$ ».

Certaines catégories de problèmes, usuellement exprimés sous forme d'équations, font l'objet de théories générales. On parvient ainsi à résoudre certaines classes d'équations en exprimant leurs solutions sous une forme plus explicite que l'équation elle-même. Dans les cas moins favorables, on se contente d'étudier les conditions d'existence des solutions et leurs propriétés. L'étude de différents types importants d'équations est développée dans les articles équation linéaire, équation polynomiale, équation différentielle, équation aux dérivées partielles.