Vitesse relative
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L'expression vitesse relative est communément utilisée, pour exprimer la différence des vitesses de deux mobiles ou la variation dans le temps de la distance entre deux mobiles.
Elle est aussi employée pour exprimer des variations comparées par rapport au temps de quantités autres que des distances : vitesse relative de croissance (du poids, de la taille etc.). Aussi simple qu'elle puisse apparaître au premier abord, cette notion, en fonction du contexte où elle est utilisée, nécessite des définitions précises des différents objets concrets (matériels) ou théoriques (mathématiques) qu'elle met en œuvre. De l'automobiliste qui se fait dépasser sur une autoroute par un véhicule dont il veut estimer la vitesse, jusqu'au scientifique cherchant la méthode d'accostage de deux engins spatiaux la plus économique en énergie, en passant par le navigateur vérifiant qu'il n'est pas en route de collision avec un autre navire, on imagine aisément que les méthodes de mesures et de calculs vont être différentes.
L'appréciation des distances, des vitesses de déplacement, la complexité des trajectoires, la précision des mesures et des résultats, dépendent du domaine d'application.
[modifier] Limites du sujet de l'article sur la vitesse relative
[modifier] C'est une vitesse s'appliquant aux distances parcourues dans l'espace
Si la vitesse exprime de façon générale la variation d'une quantité (autre que le temps, comme la température, la pression, le poids etc.) par rapport à une durée (écart de temps), ce qui suit ne concerne que les domaines de la cinématique et de la mécanique : mécanique newtonienne ou mécanique relativiste. Par vitesse il s'agira donc de distance (ou de variation d'une quantité permettant de définir la position dans l'espace, comme l'angle) parcourue par unité de temps. La vitesse relative étant une vitesse, elle pourra être définie, suivant les besoins, par une seule grandeur scalaire ( 20 km/h, 1 tour par minute) ou par plusieurs grandeurs permettant d'en préciser les caractéristiques, comme la direction et le sens. (Voir dans l'article sur la vitesse : vecteur vitesse, vitesse angulaire, vitesse aérolaire, vitesse instantanée, vitesse moyenne, vitesse curviligne.)
[modifier] Relativité
Les exemples qui suivent n'ont pas pour objectif d'expliciter les théories de la physique relativiste (relativité restreinte, relativité générale). Cependant l'intérêt qu'elles présentent sera abordé, quand la mécanique classique atteint ses limites de validité (en cohérence ou en précision).
[modifier] Vocabulaire
Il pourra s'avérer utile de consulter les articles consacrés à certains termes scientifiques comme référentiel galiléen ou de métier, en particulier pour les exemples concernant la navigation maritime.
[modifier] Remarques préliminaires sur la notion de vitesse relative
La vitesse relative qualifie l'écart de distance entre deux mobiles par unité de temps, ou bien la vitesse d'un mobile observée depuis un autre mobile. L'expression de vitesse relative est parfois remplacée par d'autres termes équivalents :
- vitesse apparente, pour le vent apparent en navigation maritime, différent du vent réel (perçu par un navire à l'arrêt, au mouillage),
- vitesse indiquée, vitesse corrigée, en navigation aéronautique (voir vitesses (aérodynamique) ), différentes de la vitesse vraie,
- vitesse d'approche, mais aussi vitesse relative en navigation spatiale, pour les accostages d'engins spatiaux.
Dans tous les cas la vitesse relative est une vitesse observée dans un référentiel lui même mobile dans un autre référentiel (absolu ou pas). La notion de vitesse relative n'a de sens qu'entre deux entités animées d'une vitesse dans un référentiel qui ne dépend pas d'elles, mais où elles évoluent.
[modifier] Remarques préliminaires sur les référentiels
Le référentiel est un système qui permet d'observer et de noter (repérer) les positions successives d'un mobile dans l'espace et dans le temps, ce système étant invariant pendant la durée des observations. Un référentiel comprend donc au moins un axe d'espace (une dimention spatiale) et un axe de temps (une dimention temporelle, à priori indépendante de l'espace) qui permettent à un observateur de situer un objet (fixe ou mobile). En mécanique, les référentiels ont des définitions scientifiquement appropriées. (Voir référentiel galiléen.) Il est remarquable que la définition des référentiels est importante pour établir les formules mathématiques qui permettent de passer d'un référentiel à un autre en conservant les lois de la physique, ( en fonction de chacune des approches de la physique ( Lois de Newton, relativité restreinte, relativité générale, mécanique quantique.)
Dans ce qui suit, le mot référentiel servira généralement à désigner un système de coordonnées spatiales (sur une dimention, un plan (2 dimentions), un volume (3 dimentions) ) et un chronomètre.
[modifier] Définitions de la vitesse relative
La vitesse relative d'un mobile M1 par rapport à un mobile M2 est la vitesse de déplacement de M1 observée depuis M2.
Ou bien : la vitesse relative de deux mobiles est la vitesse où ces deux mobiles s'approchent ou s'éloignent l'un de l'autre.
Ou encore : la vitesse relative de deux mobiles est la différence des vitesses de ces mobiles.
Ces définitions précédentes, apparamment simples, de la vitesse relative ne sont pas équivalentes et sous entendent l'existance de vitesses non relatives, absolues.
Elles ne sont pas non plus rigoureuses, voire fausses, vis à vis des principes de la mécanique newtonienne ou de la mécanique relativiste.
Une définition plus scientifique pourrait être : la vitesse relative d'un mobile est sa vitesse dans un référentiel lui même mobile dans un autre référentiel (ce qui est redondant dans une mécanique ne considérant qu'il n'existe pas de repère absolu). La définition scientifique est : la vitesse relative d'un mobile est sa vitesse dans un référentiel. Elle présente l'avantage d'être simple et l'inconvénient de ne pas faire la différence entre une vitesse et une vitesse relative, ce qui clot prématurément le sujet.
La ou les définitions de la vitesse relative étant maintenant ébauchées, il est intéressant de les préciser en appréciant leur usage en quelques exemples.
[modifier] Exemples concrets d'usage de vitesses relatives dans un environnement courant
Par environnement courant il faut comprendre l'environnement humain quotidien où les résultats des calculs sont d'une précision suffisante, compte tenu de l'approximation des observations. (Mécanique newtonienne.)
[modifier] Vitesses relatives de véhicules terrestres
Deux automobiles circulent sur une route à deux voies à des vitesses constantes de 50 km/h et de 60 km/h. Elles roulent dans leur couloir de circulation dans des sens opposés et vont donc se croiser. Que la route soit rectiligne ou sinueuse, qu'elle monte et qu'elle descende, et bien que la terre soit ronde, la figure 1 du schéma 1 est une représentation de leur situation dans un repère cartésien dont l'axe principal Ox correspond à la ligne (blanche ou jaune) séparant les deux voies de circulation, l'autre axe, perpendiculaire, permettant de les représenter dans un plan (plan du schéma).
On peut ainsi définir trois référentiels :
- un référentiel route, Rr, dont l'axe principal est Ox, où la route suivie est développée en ligne droite,
- un référentiel auto A1, RA1, dont l'axe principal est O'X, O' correspondant à la position de A1 sur Ox, s'éloignant de O à la vitesse V1
- un référentiel (non représenté sur le schéma) RA2 pour l'auto A2 avec un axe d'origine O" dirigé vers O.
Ces définitions de repères étant faites, les deux automobiles étant assimilées aux points mobiles O' et O", on peut calculer les vitesses relatives suivantes :
- Le vecteur vitesse relative de A2 par rapport à A1, soit la vitesse de A2 dans RA1, est
- Le vecteur vitesse relative de A1 par rapport à A2 est
- A1 et A2 s'approchent l'une de l'autre à une vitesse de
, soit 50-(-60) = 60-(-50) = 110 km/h.
Les vitesses relatives sont ici, tels que les référentiels ont été définis, le résultat de la différence des vitesses que l'on qualifiera d'« absolues ». En effet, sur l'axe Ox, O étant un observateur des mouvements de O' (automobile A1) et de O" (automobile A2), la vitesse relative des deux mobiles est bien aussi la variation dans le temps de la distance curviligne (sur le bitume de la route) qui les sépare . Cependant, c'est une approximation, les deux mobiles ne suivant pas strictement le même parcours, celui-ci ayant déjà été assimilé à celui de la ligne blanche.
Supposons que nous prenions un autre référentiel, basé sur la carte routière où les deux autos circulent. Nous pourrions nous retrouver, suivant la sinuosité du parcours, à un instant t, dans la situation de la figure 2 du schéma 1. Les vitesses relatives pourraient , à l'instant t, faire l'objet des mêmes opérations de soustraction (ou d'addition) de vecteurs. Mais elles n'auraient aucune utilité, les vitesses des deux mobiles dans ce référentiel variant dans le temps en norme et direction. Sans aller jusqu'à un référentiel sphérique montagneux, où l'on tenterait de faire la différence de leurs vitesses absolues pour obtenir leurs vitesses relatives !
Par contre, si la figure 2 du schéma 1 représente deux mobiles en mouvement de translation rectiligne uniforme dans le repère Ox-Oy, alors 
représente bien la vitesse relative de A2 par rapport à A1, 
et 
ses composantes dans le repère lié à A1 (dont un des axes, O'x', représente sa propre route).
Autrement dit, les additions ou soustractions de vecteurs vitesses entre repères n'ont de sens que dans des référentiels galiléens.
[modifier] Vitesses relatives en navigation maritime
[modifier] Vents relatifs et vitesses relatives
En navigation, qu'elle soit aérienne ou maritime, les routes sont des chemins théoriques, ne mettant à la disposition du navigateur ni des lignes blanches ni des délinéateurs. Le schéma 2 représente un voilier navigant sur une mer se déplaçant sur le fond (la terre) suivant un courant marin ou un courant de marée. Il suit un cap (cap compas), par rapport au Nord, un des axes d'un repère terrestre. L'axe du navire est orienté suivant cette direction, et la navire suit une route apparente suivant ce cap.
Nous sommes en présence d'un seul mobile suivant des routes différant selon le référentiel : référentiel terrestre (le fond), référentiel surface (la mer). Les mesures que le navigateur (l'observateur) peut effectuer , se rapportent , sont relatives à son propre référentiel [1]:
- vitesse apparente sur l'eau suivant son cap, indiquée par son loch,
- vitesse apparente du vent en intensité et orientation (vent apparent), indiquée par son anémomètre et sa girouette,
D'autres données lui sont fournies dans un référentiel terrestre :
- vecteurs courant d'heure en heure.[2]
Si le navigateur veut connaitre le vent réel (vent dans un repère terrestre) il lui faudra estimer sa vitesse sur le fond, donc la vitesse d'entrainement de son référentiel dans le référentiel terrestre. Il fera de simples additions ou soustractions de vecteurs pour déterminer sa route vraie.
S'il veut corriger (infléchir) sa route en fonction de modifications prévisibles des vitesses du courant ou du vent (météo), il fera des prévisions heure par heure (les courants étant indiqués heure par heure), en considérant qu'entre deux positions espacées d'une heure, tous les mouvements relatifs sont uniformes ( vecteurs vitesse).
Il est à remarquer que le référentiel du mobile est ici basé sur un repère
- en mouvement linéaire et uniforme (dans un bref intervalle de temps) par rapport au référentiel terrestre matérialisé par une carte marine,
- axé sur sa route apparente.
[modifier] Vitesses relatives en route de collision
Deux navires N1 et N2 suivent des routes en surface telles que figurées sur le schéma 3. N1 fait route à l'Ouest à 5 nœuds (Mille marin par heure), N2 à 10 nœuds vers le Nord (sur le schéma 3, comme sur les cartes, le Nord est en haut).
Quel que soit le vecteur courant, supposé le même sur toute la zone, un observateur sur N2, observant que le relèvement) de N1 est constant [3] et constatant visuellement que le bateau s'approche (par sa taille apparente) en déduit logiquement qu'il va entrer en collision avec N1 (même constatation depuis N1 vis-à-vis de N2). Dans le référentiel de N2, (N2 étant l'origine d'un repère dont un axe est sa route, l'autre étant perpendiculaire) la vitesse relative, ou apparente, de N1 est orientée vers l'origine de N2.
Leur vecteur vitesse relative est égal à la différence vectorielle de leurs vecteurs vitesses en surface (ou de leurs vecteurs vitesses fond).
Un navire N4 est à l'ancre; sa vitesse fond est nulle mais sa vitesse surface est égale et opposée au courant de 5 nœuds, venant de l'Ouest. N3 fait route au Nord à 10 nœuds. N3 constate qu'il est en route de collision avec N4 car il perçoit une vitesse relative de N4 orientée vers lui dans son référentiel.
N3 fait donc les mêmes observations que N2. Si N3 ne connait pas l'existance du courant et ne sait pas que N4 est au mouillage (ancré sur le fond); il aura la même perception de route apparente, de vitesse relative, dans son rérérentiel, que N2 dans le sien.
La route de collision est une route sur le fond entre N3 et N4, c'est la route "vraie", suivie par N3 car N4 est fixe dans un repère lié au fond.
La route de collision N1 et N2 est une route observée dans les référentiels liés à chaque navire. Elle n'est que théorique dans un repère déterminé par un observateur fixe sur la surface de la mer, c'est à dire un observateur situé sur un navire à l'arrêt sur l'eau, dérivant comme le courant. Tout observateur fixe par rapport à la mer (comme N1 et N2 s'ils prennent pour origine de leur référentiel leur position à un instant donné) verra N1 et N2 suivrent deux routes concourantes en un point où ils seront présents au même instant.
Dans l'exemple du schéma 3, N1 et N2 suivent des routes, sur la surface de la mer, perpendiculaires (Sud-Nord et Est-Ouest) se croisant au moment de la collision.
N1 et N2 suivent, soit des routes les menant à la collision (référentiel surface), soit une route de collision (référentiels liés aux mobiles).
En fonction du mouvement relatif (vitesse d'entrainement dû au courant) du référentiel surface par rapport à un référentiel terrestre (le fond), les deux navires suivront également deux routes différentes (selon leurs vitesses par rapport au fond) les menant, au même instant, quelque soit le courant, à une collision.
[modifier] Comment établir un référentiel lié à un mobile
Les référentiels liés aux mobiles sont déterminés à partir d'un référentiel qui leur est commun. Pour apprécier le fait qu'ils sont en route de collision les deux mobiles vont se repérer par rapport à :
- un angle (gisement) par rapport à leur vecteur vitesse surface (sur l'eau) , et ils supposent qu'ils suivent un cap constant sur l'eau et que la surface de la mer est un repère fiable (non absolu, mais presque, les courants qu'ils subissent étant identiques),
- ou bien un angle par rapport au Nord (relèvement), donc par rapport au fond, qu'ils considèrent aussi comme un référentiel fixe (absolu), ou l'axe donné par un gyroscope. Ce qui revient au même axe si les courants sont fixes pendant l'observation.
Ce qui est équivalent à dire que l'observateur d'un navire considère (que le temps est uniforme, la question ne se posant pas réellement) que l'espace qu'il définit (entre son navire et le navire qui approche) est figé en dimentions (les distances entre deux points quelconques de cet espace ne varient pas en fonction du temps). Dans les deux cas il considère que le courant de surface, s'il existe, suit une direction constante par rapport au fond, que les diverses dérives sont constantes. L'observateur, dans les exemples précédents, établit donc un référentiel où lui même représente l'origine (ou bien sa position à un instant donné) et un axe orienté par rapport à un autre révérentiel, en l'occurence son vecteur vitesse dans un autre référentiel. Si l'observateur n'a aucun moyen de connaître son vecteur vitesse dans un référentiel où il évolue (pas de compas, aucune mesure de vitesse, donc aucun repère extérieur), la présence d'un objet lui permettra de déterminer un axe entre lui et l'objet. S'il peut mesurer (estimer) une distance, la variation dans le temps (son axe des temps) de cette distance lui permettra de calculer leur vitesse relative. A grande distance ils sont à priori sur une route de collision. Ce n'est que lorsque l'autre objet prend une dimention mesurable qu'il peut lever le doute. (Voir parallaxe)
[modifier] Vitesses relatives complexes : mouvements non linéaires ou non uniformes
[modifier] Formules de changement de repère
[modifier] Voir aussi
[modifier] Notes
- ↑ Sauf s'il dispose d'un système de positionnement par satellite, GPS, lui donnant sa position et sa vitesse sur le fond.
- ↑ Quelques données lui sont fournies par son expérience ou des documents comme la dérive due au vent, ou vitesse de glissement en surface, en fonction de sa vitesse et de son allure, et autres corrections de déviation compas qui n'ont pas d'importance ici.
- ↑ ici son gisement, l'angle sous lequel il voit N1 par rapport à son cap est le même que son relèvement, car il fait cap au Nord
[modifier] Articles connexes
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