E=mc²

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台北101為慶祝愛因斯坦提出「E=mc²」百週年，特別以燈光打出公式及Taipei 101字樣。

E = mc²（讀作E等於mc平方，亦稱質能轉換公式或质能方程）是一種阐述能量（E，可以是任何形式）与质量（m）間相互关系的理論物理學公式，公式中的c是物理學中代表光速的常數。

[编辑] 公式的推导

在狭义相对论中，时空会因为物质运动的速度而有所不同，而物体相对于某一贯性参照物运动得速度越快，时间变得越慢。对于运动的物体来说，时间并没有变慢。相对于某一贯性参照物，当物体的运动速度越接近光速，它越难加速。如果时空是绝对的，那么光在真空中的速度便不会恒定，它会因为参照物的速度的不同而不同。而实验结果证明光速不随着参照物的速度的不同而不同，这一现象是相对论的重要假设。因此，设参照物的时间为t,运动物体的时间为t'，物体运动的速度为v，光在真空中运动的速度为c，t和t'有以下关系：
$t=\frac{t'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
根据牛顿第二定律，作用力与物体的加速度成正比，比值为物体的质量。如果物体运动的速度远低于光速，那么时空的改变很少，几乎无法察觉。当物体运动的速度越接近光速，时空的改变越明显。当物体运动的速度等于光速，t'=0s。因此，光速是物体运动的极限速度。设物体的加速度为a，速度的改变为 $δ$ v，时间间隔为 $δ$ t，则
$a=\frac{\delta v}{\delta t}$
相对于一个惯性参照物而言，物体运动的速度越大，它越难加速。这一现象违反了牛顿第二定律，因为物体越难加速，意味着物体的加速度在一个固定的作用力下变小了，而这也显示作用力与物体加速度的比值不是常数，而是随着物体的速度变大而变大。在牛顿力学中，作用力与物体的加速度成正比，质量是恒常不变的。牛顿第二定律在物体的运动的速度远小于光速的情况下仍然适用，因为质量的改变几乎等于零。因此，我们可以知道，相对于某一惯性参照物而言，物体运动的速度越大，其质量便会越大。物体在静止时质量最小，接近光速时，质量趋于无限大。因此，设物体的静止质量为m₀，运动时的质量为m，则m与m₀系为
$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
$m^2=\frac{m_0^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}$
$m^2c^2-m^2v^2=m_0^2c^2$
作用力是物体的动量变化率。由于物体运动速度的改变会使其质量发生变化，因此动量的改变是由于其质量和速度的改变所造成的。动量是物体的质量和速度的乘积。设物体的质量的改变为 $δ$ m ，速度的改变为 $δ$ m，作用力为F，能量为E,物体的位移为 $δ$ s，动量的改变为 $δ$ (mv)，时间的改变为 $δ$ t则
$E = F δ s$
$v = δ s / δ t$
$F=\frac{\delta (mv)}{\delta t}$
$δ(m v) = (m + δ m)(v + δ v) - m v$
$δ(m v) = m v + δ m v + m δ v + δ m δ v - m v$
由于 $δ$ m和 $δ$ v的乘积远小于其他项，因此， $δ$ m和 $δ$ v的乘积可以忽略不计。
$δ(m v) = δ m v + m δ v$
$E = δ m v 2 + m v δ v$
$(m + \delta m)^2c^2-(m + \delta m)^2(v+ \delta v)^2=m_0^2c^2$
$(m + δ m) 2 [c 2 - (v + δ v) 2] = m 0 c 2$
$[m 2 + 2 m δ m + (δ m) 2][c 2 - v 2 - 2 v δ v - (δ v) 2] = m 0 c 2$
$(m^2+2m \delta m)(c^2-v^2-2v \delta v)=m_0^2c^2$
$m^2c^2+2m \delta mc^2-m^2v^2-2m \delta mv^2-2mv \delta v-4m \delta mv \delta v=m_0^2c^2$
$2 m δ m c 2 - 2 m δ m v 2 - 2 m v δ v - 4 m δ m v δ v = 0$
$δ m c 2 = δ m v 2 + m v δ v$
$E = m c 2$

[编辑] 方程式的含义

该公式表明物体相对于一个参照系静止时仍然有能量，这是违反牛顿系统的，因为在牛顿系统中，静止物体是没有能量的。这就是为什么物体的质量被称为静止能量。公式中的E可以看成是物体总能量，它与物体总质量（该质量包括静止质量和运动所带来的质量）成正比，只有当物体静止时，它才与物体的（静止）质量（牛顿系统中的'质量'）成正比。这也表明物体的总质量和静止质量不同。

反过来讲，一束光子在真空中传播，其静止质量是0，但由于它们有运动能量，因此它们也有质量。

[编辑] 术语的不同

注意：有些术语使用中，质量单指静止质量，因为总质量和能量是等价的概念。若m指代静止质量，则公式应改写为

E 0 = m c 2

而

$E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}=\gamma mc^2$

因此， $γ m$ 也也就是总质量的表达式。

[编辑] 意义

在狭义相对论里，这一公式表明能量和质量等同。虽然很多人并不确切的知道这个公式的真实含义，但它已经成为人类历史上最有名的公式之一，-{zh-cn:并;zh-tw:並}-成为文化的一部分。有人認為这一公式直接导致了原子弹的设计和制造，但事實上质能转换公式对于原子理论和原子弹的设计和制造并无任何的直接或间接促进作用, 而仅仅是后人用来解释原子弹原理的解释工具之一. 而爱因斯坦本人对于原子弹制造的贡献在于：

	关于原子弹和罗斯福，我所做的仅仅是：鉴于希特勒可能首先拥有原子弹的危险，我签署了一封由西拉德起草给总统的信。
	——《爱因斯坦文集》第三卷335页

[编辑] 背景及其影響

这个等式源于阿爾伯特·愛因斯坦对于物体惯性和它自身能量关系的研究。研究的著名结论就是物体质量实际上就是它自身能量的量度。为了便于理解此关系的重要性，可以比较一下电磁力和引力。电磁学理论认为，能量包含于与力相关而与电荷无关的场（电场和磁场）中。在万有引力理论中，能量包含于物质本身。因此物质质量能够使时空扭曲，但其它三种基本相互作用（电磁相互作用，强相互作用，弱相互作用）的粒子却不能，这并不是偶然的。

这个方程对于原子弹的发展是关键性的。通过测量不同原子核的质量和那个数量的独立质子和中子的质量和的差，可以得到原子核所包含的结合能的估计值。这不仅显示可能通过轻核的核聚变和重核的核裂变释放这个结合能，也可用于估算会释放的结合能的量。注意质子和中子的质量还在那里，它们也代表了一个能量值。

一个著名的花絮是爱因斯坦最初将方程写为dm = L/c² （用了一个“L”，而不是“E”来表示能量，而E在其它地方也用来表示能量）。

一千克物质完全等价于

89,875,517,873,681,764 焦耳或
24,965,421,632 千瓦时
21.48076431 千吨TNT当量
大约0.0851900643 Quads（千兆英热单位）

重要的是要注意实际的静质量到能量的转换不大可能是百分之百有效的。一个理论上完美的转化是物质和反物质的湮灭；对于多数情况，有很多带静质量的副产品而不是能量，因而只有少量的静质量真正被转换。在该方程中，质量就是能量，但是为了简明起见，转换这个词常常被用于代替质能等价关系，实际上通常所指的一般是静质量和能量的转换。

[编辑] 低能量的略計

假設在靜止時的能量為 m₀c²，而總能量是動能加上靜止時的能量，其相對性的動能就是：

$E_\mathrm{kinetic} = E_\mathrm{total} - E_\mathrm{rest} = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 = \left(\gamma - 1 \right) m_0 c^2$

当低速度的情况時，与動能的古典表達式仍然基本吻合，因此：

$E_\mathrm{kinetic}= \frac{1}{2} m_0 v^2$ .

两个公式可以通过用泰勒级数展开 $γ$ 来证明一致，

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \approx \left( 1+ \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 \right)$ .

将上式代回原始的方程有，

$E_\mathrm{kinetic} \approx \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 m_0 c^2 =\frac{1}{2} m_0 v^2$ ,

因此有

$\frac{1}{2} m_0 v^2 = E_\mathrm{total} - E_\mathrm{rest}$ ,

或者

$E_\mathrm{total} = E_\mathrm{rest} + \frac{1}{2} m_0 v^2$ ,

也就是能量的相对论表达式，这和只有动能的经典牛顿表达式不同。

这表示相对论是对经典力学的高阶修正而且在低能或者说经典领域牛顿和相对论力学不是等价的。

那么什么是等价的？仅仅是动能的表达式，而不是总能量。

在从经典力学到高速情形的外推中，爱因斯坦证明了经典力学是错误的。在低速物体的情形，例如用于建立经典力学的那些，经典力学是相对论力学的一个子集。两个理论仅在经典领域之外导致矛盾。

[编辑] 爱因斯坦和他1905年的论文

阿尔伯特·爱因斯坦没有在他的1905年论文中精确地表述这个方程"-{Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?}-" （“一个物体的惯性依赖于它所包含的能量吗?”，发表于《物理学年鉴》9月27日），这是他现在被称为《奇迹年论文》的文章之一。
该论文所说的确切内容是：‘若一个物体以辐射形式发射能量L，它的质量减少L/c²。’，这个情况下辐射的是动能，而质量是那时侯通常所指的质量，也就是今天我们根据情况称为静能量或者不变质量。
这是在发射能量前后的质量差，它等于L/c²，而不是物体的整个质量。在那时它仅仅是理论上的还未被实验证明。

[编辑] 其他貢獻

爱因斯坦不是唯一将能量联系到质量的人，但他是第一个将这个作为更大的理论的一部分推出的，而且，是根据这个理论的前提所导出的结果。

根据Umberto Bartocci（佩鲁贾大学数学史家），该方程早在两年之前就由Olinto De Pretto发表了，他是一个意大利维琴查的工业家。但是没有主流史学家认为这个结论是真实的或者是重要的，他们认为即便De Pretto是首位发现该公式的人，但是只有在爱因斯坦真正将它和相对论建立联系之后，该公式才真正显示出价值。

[编辑] 电视传记

E=mc²用作2005年爱因斯坦的一个电视传记的名称，主要集中讲述1905年间的事情。

[编辑] 参见

Celeritas，拉丁文：速度或迅捷的意思。是E=mc²用c这个符号指代真空光速的来源。
能量及動量的關係
質能相等
相對性質量
質量、動量及能量
慣性
核聚变
核裂变
核衰变

[编辑] 参考文献

大卫·波戴尼(Bodanis, David) (2001). 《E＝mc²：等式列传》(E=mc²: A Biography of the World's Most Famous Equation). Berkley Trade. ISBN 0425181642.
保罗·迪普勒；拉尔夫·卢埃林(Tipler, Paul; Llewellyn, Ralph) (2002). 《现代物理(第四版)》(Modern Physics (4th ed.)). W.H.弗里曼出版社 (W. H. Freeman). ISBN 0716743450.
James A. Richards, Jr.; Francis Weston Sears; M. Russel Wehr; Mark W. Zemansky (1962). Modern College Physics. Addison-Wesley Publishing Company, Inc.. {{{ID}}}.

[编辑] 外部链接

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