Potentiel

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Un potentiel est une fonction scalaire prenant une valeur en tout point de l'espace caractéristique d'un champ de force conservatif. En effet, toutes les forces conservatives dérivent d'un potentiel. Ainsi, si l'on note la force conservative $\vec{f}$ et le potentiel $U$ :

$\vec{f} = - \vec{\mathrm{grad}}\ U$

où $\vec{grad}$ représente l'opérateur gradient défini selon différentes notations par :

$\vec{\mathrm{grad}}\ U = \vec\nabla U = \begin{pmatrix} \frac{\partial U}{\partial x} \\ \frac{\partial U}{\partial y} \\ \frac{\partial U}{\partial z} \end{pmatrix} =\frac {\partial U}{\partial x} \vec{i}+\frac {\partial U}{\partial y} \vec{j}+\frac {\partial U}{\partial z} \vec{k}$

$dU(x,y,z)=\frac {\partial U}{\partial x}dx+\frac {\partial U}{\partial y}dy+\frac {\partial U}{\partial z}dz =(\frac {\partial U}{\partial x} \vec{i}+\frac {\partial U}{\partial y} \vec{j}+\frac {\partial U}{\partial z} \vec{k}) \cdot (dx\vec{i}+dy\vec{j}+dz\vec{k})=\vec{\mathrm{grad}}\ U \cdot d \vec r$

où $\frac {\partial U}{\partial x}$ est la dérivée partielle de U (x,y,z) par rapport à x.

[modifier] Potentiel gravitationnel

$U = - \frac{GM}{r}$ où G est la constante universelle de gravitation, M est la masse de l'objet considéré, et r est la distance par rapport au centre de masse de l'objet considéré.

Le poids $p$ d'un objet de masse m vaut

$P = - m \cdot \vec{\mathrm{grad}}\ U$

[modifier] Potentiel électrostatique

Le potentiel V créé par une charge q vaut

$V(r)= \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 \left|\vec{r}\right|}$

où ε₀ est la permittivité du vide, et r est la distance au barycentre de la charge. La force électrostatique $\vec{F}$ subie par une charge q' vaut :

$F = - q' \cdot \vec{\mathrm{grad}}\ V$

L'expression de V s'établit à partir de l'expression de la force de Coulomb entre deux charges

$\vec{F} = \frac{q_1 q_2 \vec{r}}{4 \pi \epsilon_0 \left|\vec{r}\right|^3}$

que l'on peut écrire

$q_1 .V_2(1)= q_2 .V_1(2) = \frac{q_1 q_2 }{4 \pi \epsilon_0 \left|\vec{r}\right|}$

où V₁(2) est le potentiel créé par 1 en 2 et V₂(1) est le potentiel créé par 2 en 1 et comme mathématiquement : $\vec{grad}(\frac{1}{\left|\vec{r}\right|}) =\vec\nabla (\frac{1}{\left|\vec{r}\right|}) = -\frac{\vec{r}}{\left|\vec{r}\right|^3} \;$