E=mc²

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Indenfor fysik fastlægger den teoretiske ligning E = mc² sammenhængen mellem energi i enhver form (E) og masse (m). I denne formel er c² en enhedsomregningsfaktor. Ligningen er udledt af Albert Einstein.

Indholdsfortegnelse

1 Formlens betydning
2 Baggrund og implikationer
3 Ligningens gyldighed
- 3.1 Relativistisk masse
- 3.2 Hvilemasse
4 Lavenergiapproksimation
5 Se også
6 Referencer
- 6.1 Bøger
- 6.2 Eksterne henvisninger

[redigér] Formlens betydning

Formlen implicerer, at et legeme med masse også besidder energi, selv hvis det er i hvile og ikke har nogen form for konventionel energi (potentiel energi, kinetisk energi, kemisk energi osv.). Dette står i modsætning til Newtons mekanik, hvor et legeme i hvile ikke kan have nogen energi, hvorfor massen kaldes for legemets hvileenergi. E'et i formlen kan betragtes som legemets totale energi, hvilket er proportionalt med massen M, når legemet er i hvile.

Omvendt har en sky af fotoner, der bevæger sig gennem det tomme rum og ikke har nogen hvilemasse, stadig en masse, fordi de besidder kinetisk energi.

Formlen giver også en kvantitativ sammenhæng mellem energi og masse i en proces, hvor det ene omdannes til det andet, som det f.eks. sker ved en nuklear eksplosion. I dette tilfælde er E den energi, der frigøres, hvis massen m tilintetgøres, eller den energi, der bliver absorberet for at skabe massen m. I disse tilfælde gælder formlens udtryk for proportionalitet.

Formlen førte blandt andet til opfindelse af atombomben og kernekraft, herunder atomubåde. Ligningen er en af de mest kendte i verden.

[redigér] Baggrund og implikationer

Ligningen er resultatet af Albert Einsteins undersøgelse af afhængigheden af inertien af et legeme og dettes energiindhold. Det berømte resultat af denne undersøgelse er, at energi og masse rent faktisk er en og samme ting. For at forstå dette resultat sammenlignes elektromagnetisk kraft med tyngdekraft. I elektromagnetisme er energien lagret i felter (elektriske og magnetiske) associeret med kraften og ikke ladningerne. I tyngdekraften er energien opbevaret i selve massen af materialet. Det er ikke et tilfælde, at masse bøjer rumtiden i modsætning til ladninger i de andre tre fundamentale kræfter.

$\mbox{Hvileenergi} = \mbox{masse}\,\times\,\mbox{(lysets hastighed)}^2$

Ifølge ligningen er den maksimale mængde energi, der kan uddrages fra et legeme, det samme som massen af legemet ganget med kvadratet på lysets hastighed. Da den almindelige betegnelse er lysets hastighed, benyttes i denne artikel udelukkende ordet hastighed selvom fart er den korrekte betegnelse.

Ved at måle massen af forskellige nukleoner og fratrække dette tal massen af de enkelte protoner og neutroner kan bindingsenergien for kernen beregnes. Dette viste ikke kun, at det er muligt at frigive denne energi ved fusion af lette kerner eller fission af tunge kerner, men gav også et groft billede af mængden af den frigivne energi. Bemærk at masserne af protonerne og neutronerne stadig er der, og at disse også repræsenterer en mængde af energi.

Et kilogram masse kan omregnes til:

89.875.517.873.681.764 joule
24.965.421.632 kWh
21,48076431 megaton TNT

Det er vigtigt at bemærke at praktisk omdannelse af masse til energi sjældent er 100% effektivt. Teoretisk perfekt omdannelse ville resultere i kollision af materie og antimaterie. Oftest produceres biprodukter istedet for energi og meget lidt masse bliver i realiteten omdannet. I ligningen er masse energi men for klarhedens skyld er ordet omdannelse benyttet.

[redigér] Ligningens gyldighed

$E = m c 2$ gælder for alle objekter med masse, da det er et udtryk for at energi og masse er to sider af samme sag, og at det er muligt at konvertere mellem de to. Gyldigheden for legemer i bevægelse afhænger af definitionen af masse i ligningen.

Normalt gælder ligningen for legemer, der ikke bevæger sig i forhold til et referencepunkt, men legemet kan i forhold til en anden reference være i bevægelse. I begge tilfælde er ligningen gyldig, da betragteren observerer et legeme i hvile, men den totale energi (og masse, det er jo "den samme ting") er forskellig. Så i modsætning til Newtons lære afhænger energi (og masse) af referencepunktet.

[redigér] Relativistisk masse

I Einsteins tidlige afhandling [1] blev $m$ betragtet som hvad vi nu kalder relativistisk masse. Dette er relateret til hvilemasse $m 0$ (dvs. legemets masse betragtet fra et referencepunkt, hvorfra det er i hvile) på følgende måde:

$m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Men for at opnå ligningen $E = m c 2$ skal vi starte med ligningen

$E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4\$

hvor $p = \gamma mv\$ er den relativistiske impuls af legemet. Sættes $v = 0$ er $p = 0$ . Vi har nu et specialtilfælde, hvor legemet er i hvile, og hvor $E 2 = m 2 c 4$ eller ækvivalent $E = m c 2$ . Det er kun i dette tilfælde, ligningen gælder. Ved enhver anden hastighed skal vi genindsætte $p 2 c 2$ i det generelle udtryk.

Hvis vi nu sætter $v = 0$ i udtrykket

$m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}$

får vi $m = m 0$ . Så i hvile er hvilemasse og relativistisk masse det samme og ligningen kan omskrives til

$E = m_0 c^2\$

Der er ingen forskel på de to udtryk, når $v = 0$ . Så udtrykket gælder kun, når referencen vælges således at legemet er i hvile.

[redigér] Hvilemasse

Relativistisk masse bliver ikke brugt meget i moderne fysik. Her bruges $m$ til at symbolisere hvilemasse, så $E = m c 2$ er hvileenergien af legemet (legemet er i hvile i forhold til referencen). I dette tilfælde gælder udtrykket kun når legemet er i hvile, den moderne udgave af udtrykket med et objekt i bevægelse i forhold til referencer er

$E = \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} = \gamma mc^2$

hvilket kan reduceres til $E = m c 2$ når $v = 0$ . Uagtet den moderne skik benytter denne artikel i det resterende $m$ for relativistisk masse og $m 0$ for hvilemasse.

[redigér] Lavenergiapproksimation

Da restenergien er $m_0 c^2\$ , og den totale energi er den kinetiske energi plus restenergien, er den relativistiske kinetiske energi givet ved

$E_\mathrm{kinetic} = E_\mathrm{total} - E_\mathrm{rest} = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 = \left(\gamma - 1 \right) m_0 c^2$

hvilket ved lav hastighed ( $v \ll c$ ) skal stemme over ens med det klassiske udtryk for kinetisk energi,

$E_\mathrm{kinetic}= \frac{1}{2} m_0 v^2$ .

Det kan vises at de to formler er i overensstemmelse ved at beskrive $\gamma\$ med den tilsvarende taylor-række,

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \approx \left( 1+ \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 \right)$ .

Ved sammenskrivning med den oprindelige ligning får vi,

$E_\mathrm{kinetic} \approx \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 m_0 c^2 =\frac{1}{2} m_0 v^2$ .

Vi har da,

$\frac{1}{2} m_0 v^2 = E_\mathrm{total} - E_\mathrm{rest}\$ ,

eller,

$E_\mathrm{total} = E_\mathrm{rest} + \frac{1}{2} m_0 v^2\$

hvilket ikke er i overensstemmelse med den klassiske fysik, hvor energien er rent kinetisk.

Klassisk og relativistisk fysik er altså ikke ækvivalente undtagen for den kinetiske energi. Einstein viste, at den klassiske fysik ikke kunne anvendes på meget store eller hurtige legemer, men for lav hastighed er den klassiske fysik ækvivalent med den relativistiske fysik. De to teorier modsiger kun hinanden udenfor den klassiske fysiks ramme.

[redigér] Se også

Kinetisk energi
Celeritas - for historien om c-notationen for lysets hastighed.
Inerti - (på engelsk: en:Inertia)

[redigér] Referencer

[redigér] Bøger

Bodanis, David (2001). E=mc²: A Biography of the World's Most Famous Equation, Berkley Trade. ISBN 0425181642.
Tipler, Paul; Llewellyn, Ralph (2002). Modern Physics (4th ed.), W. H. Freeman. ISBN 0716743450.

[redigér] Eksterne henvisninger

Hentet fra "http://da.wikipedia.org../../../e/3D/m/E%3Dmc%C2%B2.html"

Kategorier: Relativitetsteori

We provide Linux to the World