Corps fini

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En algèbre, un corps fini est tout simplement un corps dont le cardinal est fini.

Remarque sur la terminologie : la définition actuelle d'un corps demande que la multiplication soit commutative. Elle abolit la distinction entre corps commutatif et corps non commutatif, que l'on trouve dans les ouvrages un peu anciens, et même encore dans des parutions récentes. Lorsqu'on introduit les corps finis, on doit revenir à l'ancienne acception de la structure de corps, où la multiplication n'est pas nécessairement commutative. Sans cela, le théorème fondamental sur les corps finis (théorème de Wedderburn) n'a pas de sens... Ironiquement, ce théorème prouve que les corps finis (ancienne définition) sont en fait des corps (définition actuelle) !

Ils sont très utilisés en théorie des nombres, ainsi qu'en théorie de l'information (cryptographie et codes correcteurs, par exemple).

Sommaire

1 Exemple : ( , + , . )
2 Les corps
- 2.1 Théorie de Galois
3 Propriétés
- 3.1 Classification
- 3.2 Clôture algébrique

[modifier] Exemple : ( $\mathbb F_2 \,$ , + , . )

( $\mathbb F_2 \,$ , + , . ) est le plus petit corps fini. Il est composé de deux éléments, 0 et 1. Voici la définition des opérations « + » et « . » sur ce corps :

+	0	1
0	0	1
1	1	0

.	0	1
0	0	0
1	0	1

[modifier] Les corps $\mathbb F_q \,$

Le théorème de classification montrera que tout corps fini est isomorphe à un corps de ce type. Montrons comment on les construit.

Soit $q=p^n\,$ une puissance d'un nombre premier p. On peut introduire un corps fini de cardinal q comme corps de rupture du polynôme $P=X^q-X\,$ sur $\mathbb Z / p \mathbb Z \,$ . On le note généralement $\mathbb F_q \,$ .

Le polynôme P est en effet de degré q, de dérivée égale à la constante -1, donc jamais nulle. L'ensemble formé par les racines de P est donc de cardinal q et il suffit de prouver qu'il forme un corps, il sera alors lui-même le corps de rupture. Mais la somme ou le produit de deux racines de P est encore racine puisque, dans un corps de caractéristique p, on a par l'endomorphisme de Frobenius

$(x_1+x_2)^p = x_1^p+x_2^p \qquad (x_1x_2)^p=x_1^px_2^p \qquad (x_1^{-1})^p = (x_1^p)^{-1}$

On obtient donc bien ainsi un corps de cardinal q.

[modifier] Théorie de Galois

L'endomorphisme de Frobenius définit ainsi un automorphisme du corps $\mathbb F_q \,$ , laissant le corps $\mathbb F_p \,$ fixe. La relation $(x p) n = x q = x$ , valable pour tous les éléments de $\mathbb F_q \,$ , montre que cet endomorphisme est d'ordre divisant n. Il est même en fait exactement d'ordre n, et engendre donc le groupe de Galois $Gal(\mathbb F_q /\mathbb F_p)$ , qui est donc cyclique, isomorphe à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .

[modifier] Propriétés

Le fameux théorème de Wedderburn affirme qu'un corps fini K est commutatif. En outre, le groupe des éléments inversibles K^* a lui aussi une structure simple, puisqu'il s'agit d'un groupe cyclique.

[modifier] Classification

Un corps fini K a une caractéristique strictement positive; et comme il est intègre, cette caractéristique est donc un nombre premier (notons-le p ). Il contient donc un sous-corps isomorphe à $\mathbb Z / p \mathbb Z \,$ , appelé corps premier de K.

Comme K est un espace vectoriel sur son corps premier, de dimension finie, son cardinal est une puissance de p. Ce cardinal est donc de la forme : q = p ^r .

Réciproquement, si q est une puissance d'un nombre premier, on démontre, par la théorie des polynômes cyclotomiques, qu'il existe, à isomorphisme près, un et un seul corps fini de cardinal q : c'est le corps $\mathbb F_q \,$ .

[modifier] Clôture algébrique

On connaît par ce qui précède toutes les extensions finies, et donc toutes les extensions algébriques des corps finis. La clôture algébrique $\mathbb{F}_p^{alg}$ de ces corps est donc connue, et peut-être vue comme le compositum de tous les $\mathbb F_{p^n} \,$ .

Du point de vue de la théorie de Galois, la famille des groupes $Gal(\mathbb F_{p^n} /\mathbb F_p)$ , pour n variant, forme donc ce qu'on appelle un système projectif, c'est-à-dire que le groupe de Galois absolu $Gal(\mathbb F_p^{alg} /\mathbb F_p)$ est la limite projective des groupes $Gal(\mathbb F_{p^n} /\mathbb F_p)\simeq\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ; c'est donc le complété profini $\hat{\mathbb{Z}}$ de $\mathbb{Z}$ , qui est ainsi un groupe procyclique : un générateur naturel est à nouveau l'endomorphisme de Frobenius, qui peut être vu comme la donnée de la famille compatible des endomorphismes de Frobenius des extensions finies.