Groupe profini

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La notion de groupe profini est d'une certaine manière une généralisation en théorie des groupes de la notion de groupe fini. Elle est particulièrement utile en théorie de Galois, pour pouvoir travailler avec des extensions infinies.

Un groupe profini peut être vu comme la limite, en un sens algébrique à préciser, d'une famille compatible de groupes finis. Compatible signifie ici que les groupes finis considérés sont munis d'une certaine famille de morphismes permettant de passer des uns aux autres. Ces groupes, munis de ces morphismes, sont dits former un système projectif. Le cadre général pour ces passages à la limite algébrique est celui de la notion de limite projective.

[modifier] Exemples

L'exemple le plus simple de groupe profini provient certainement de la famille des $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ , où p est un nombre premier fixé, n variant parmi les entiers naturels. Il est bien connu qu'il existe des morphismes surjectifs $\phi_{m,n}\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ pour m plus grand que n ; avec de bonne propriétés de composition entre eux. Un élément du groupe profini associé à ce système projectif est alors la donnée d'une famille $(α n) n$ où chaque $α n$ est dans $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ , et tel que deux coordonnées vérifient toujours : $φ m, n (α m) = α n$ . On note $\mathbb{Z}_p$ ce groupe profini, qui peut par ailleurs être obtenu comme un anneau d'entiers dans la théorie des corps de nombres p-adiques. Ce groupe est en fait le pro-p-complété du groupe des entiers relatifs.

En particulier, les entiers relatifs peuvent être vus comme des éléments de ce groupe profini : tout entier peut s'écrire comme une somme finie

α =	∑	a_ipⁱ
	i

, avec a_i inférieur à p. On pose alors $\alpha_n=\sum_{i\leq n} a_ip^i$ .

On peut de même construire le complété profini $\hat{\mathbb{Z}}$ du groupe des entiers relatifs en considérant le système projectif formé à partir de tous les $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .

[modifier] Topologie

Par le théorème de Tychonov, on constate qu'un groupe profini peut être muni d'une topologie qui le rende compact, chacun des groupes finis ayant permis de le construire étant muni de la topologie discrète.

On a en fait la caractérisation suivante : un groupe compact est profini si et seulement s'il est totalement discontinu.

[modifier] Théorie de Sylow

Les groupes profinis ont une structure suffisamment proche de celle des groupes finis pour que la théorie de Sylow s'y énonce de manière analogue au cas classique ; la démonstration se faisant par un simple passage à la limite.

[modifier] Théorie de Galois

Un groupe de Galois d'une extension infinie peut facilement être vu comme un groupe profini : en effet, ses quotients finis (qui correspondent via la corrspondance de Galois aux sous-extensions finies), forment un système projectif, dont la limite est le groupe considéré.

Le cas du pro-p-complété $\mathbb{Z}_p$ de $\mathbb{Z}$ apparaît notamment en théorie d'Iwasawa