שדה סופי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

באלגברה, שדה סופי הוא שדה אשר קבוצת איבריו היא קבוצה סופית. לשדות סופיים שימושים רבים, בין היתר בתורת גלואה, תורת המספרים, גאומטריה אלגברית, תורת הצפינה וקריפטוגרפיה. כפי שנראה להלן, המבנה של שדות סופיים מוכר היטב.

[עריכה] תכונות

יהי $\mathbb{F}$ שדה סופי. אז מתקיימות התכונות הבאות:

קיימים מספר ראשוני p ומספר טבעי n עבורם ב- $\mathbb{F}$ יש בדיוק $\ p^n$ איברים. המספר p הוא גם המציין של השדה $\mathbb{F}$ .
לא קיים שדה סופי ממציין 0, שכן כל שדה ממציין 0 מכיל קבוצה אינסופית שאיזומורפית למספרים הרציונליים. ההפך אינו נכון: יש שדות אינסופיים ממציין שאינו 0.
השדה הקטן ביותר המוכל ב- $\mathbb{F}$ הוא השדה בעל p איברים - שדה השאריות מודולו p. הוא מסומן לרוב כ- $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Z}_p$ , או כ- $\mathbb{F}_p$ .
$\mathbb{F}$ הוא מרחב וקטורי שממדו n, מעל $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ .
$\mathbb{F}$ הוא שדה הפיצול של הפולינום $t^{p^n}-t$ מעל השדה $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . מכך ניתן גם לראות כי לכל $\ p$ ראשוני ו- $\ n$ טבעי יש שדה בעל $\ p^n$ איברים, וכי כל שני שדות עם $\ p^n$ איברים זהים עד כדי איזומורפיזם.
החבורה הכפלית של השדה (כל אברי השדה פרט ל-0 עם פעולת הכפל) היא חבורה ציקלית.
חבורת הגלואה של כל שדה סופי $\ \mathbb{F}_{p^n}$ מעל $\ \mathbb{F}_p$ היא חבורה ציקלית ונוצרת על ידי אוטומורפיזם פרובניוס.

[עריכה] הוכחת התכונות הראשונות

כדי להראות שהגודל של $\mathbb{F}$ הוא חזקה של מספר ראשוני, נשים לב שהמאפיין שלו לא יכול להיות 0, כי שדות בעלי מאפיין 0 מכילים עותק של שדה המספרים הרציונליים, ולכן הם בהכרח אינסופיים. בנוסף, באופן כללי אם המאפיין של השדה שונה מ-0, אז הוא מספר ראשוני, p, והשדה יכיל בתוכו עותק של השדה $\mathbb{Z}_p$ - שדה השאריות מודולו p. נשים לב שהשדה המקורי $\mathbb{F}$ הוא גם מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb{Z}_p$ עם החיבור והכפל הרגילים, וכאשר הסקלרים הם איברי העותק של $\mathbb{Z}_p$ . נסמן את הממד של השדה מעל $\mathbb{Z}_p$ ב-n. המספר n חייב להיות סופי, כי אחרת היו בשדה מספר אינסופי של איברים בלתי תלויים לינארית ובפרט- מספר אינסופי של איברים, ולכן הגודל של $\mathbb{F}$ הוא בדיוק $p n$ .

נבנה שדה מגודל $p n$ , על ידי פיצול פולינום. נסמן את שדה הפיצול של הפולינום $\ f(x) = x^{p^n} - x$ מעל השדה $\mathbb{Z}_p$ ב- E. שדה זה הוא השדה המינימלי שבו הפולינום $\ f(x)$ מתפצל למכפלה של גורמים לינאריים- $\ f(x) = (x-a_1 ) \cdot (x-a_2 ) \cdots (x- a_{p^n} )$ . ניתן להראות על ידי שימוש בתכונות של הנגזרת הפורמלית, שלפולינום הזה אין שורשים כפולים, ולכן הקבוצה $\ A = \left\{ a_1 , a_2 , . . . a_{p^n} \right\}$ היא קבוצה בת $p n$ איברים בדיוק. נראה שקבוצה זו היא כבר שדה; קודם כל ברור שהאיברים 0 ו-1 נמצאים ב-A כי $\ 0^{p^n} = 0 , 1^{p^n} =1 , (-1)^{p^n} = -1$ (השיוויון לגבי 1- נובע מהפרדה לשני מקרים - אם p=2 אז במילא 1 =1- , ואחרת החזקה היא איזוגית, ולכן מתקיים השיוויון). בנוסף אם $x , y \in A$ כלומר $\ x^{p^n} = x \ \ , \ \ y^{p^n} = y$ אז גם $\ (xy) ^{p^n} = x^{p^n} \cdot y^{p^n} = xy$ , $\ (x ^{-1} ) ^{p^n} = (x^{p^n}) ^{-1} = x^{-1}$ כלומר הקבוצה סגורה תחת פעולת הכפל וההפכי. בנוסף הוא סגור גם תחת חיבור כי לפי הבינום של ניוטון (פעולת הכפל היא קומוטטיבית) מתקבל השיוויון

$\ (x+y)^{p^n} = \sum_{k=0}^{p^n} { {p^n} \choose{k} } x^{ p^n - k} \cdot y ^k$

כיוון שמקדמי הבינום ${p^n} \choose{k}$ מתחלקים ב-p עבור כל k חוץ מ- k=0 ו- k=pⁿ, למעשה כל איברי הסכום מתאפסים, חוץ מהראשון והאחרון, כלומר $\ (x+y)^{p^n} = x^{p^n} + y^{p^n} = x + y$ , כלומר גם $x+y \in A$ . ובכך הראנו שהקבוצה A סגורה תחת חיבור, חיסור כפל וחילוק, והיא תת קבוצה של שדה- ולכן היא שדה בפני עצמה. שדה זה הוא בן $p n$ איברים בדיוק, כמו שרצינו. כיוון ששדה הפיצול הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם, ושכל שדה בן p^n איברים הוא בדיוק שדה הפיצול של הפולינום $\ x^{p^n} - x$ - קיים רק שדה אחד בן $p n$ איברים עד כדי איזומורפיזם.

[עריכה] דוגמה

השדה $\mathbb{F}_4$ , קיים ויחיד, כי 4 הוא חזקה של מספר ראשוני, אבל הוא לא חוג המספרים השלמים מודולו 4, $\mathbb{Z}_4$ , כי חוג זה מכיל מחלק אפס.

נשים לב ש- $\ 4=2^2$ , ו- 2 הוא מספר ראשוני, ולכן $\mathbb{F}_4$ הוא הרחבה של השדה $\mathbb{F}_2= \mathbb{Z}_2$ , ומעלת ההרחבה היא 2. באופן כללי, ניתן ליצור הרחבה ממעלה n על ידי הוספת שורש של פולינום אי פריק ממעלה n לשדה המקורי, ולכן הבעיה של יצירת שדה בן ארבעה איברים היא הבעיה של מציאת פולינום ריבועי אי פריק מעל $\mathbb{Z}_2$ . קל לראות שהפולינום הריבועי האי פריק היחיד בחוג הפולינומים $\mathbb{Z}_2 [x]$ הוא $\ x^2 + x + 1$ - זהו פולינום אי פריק כיוון שהוא פולינום ריבועי בלי שורש בשדה, מה שאפשר לוודא על ידי בדיקת כל האפשרויות. נוסיף שורש של הפולינום לשדה, ונסמן את השורש ב- c. קל לראות שמתקבל השדה $\mathbb{F}_4 = \left\{ 0 , 1 , c , c + 1 \right\}$ כאשר פעולות החיבור והכפל בו נקבעים לפי השיווינות $\ x+x=0$ לכל x ו- $\ c^2 + c + 1 = 0$ . מכאן מתקבל לדוגמה השיוויון $\ c ^ 2 = c ^{-1} = c +1$ , ואת הביטוי $\frac{c^3+c}{c+1}$ אפשר לפשט לביטוי 1.