Endomorphisme de Frobenius

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En algèbre, l'endomorphisme de Frobenius, nommé ainsi en l'honneur de Georg Ferdinand Frobenius, est un endomorphisme d'anneau défini de façon naturelle à partir de la caractéristique. Dans le cas des corps finis, il s'agit d'un automorphisme. Il est très utile en théorie de Galois et en théorie des corps de classe.

[modifier] Définition

Soit A un anneau commutatif de caractéristique le nombre premier . L'endomorphisme de Frobenius est l'application

Les propriétés des morphismes d'anneaux sont vérifiées : outre les formules classiques et , on observe que , du fait que les coefficients binomiaux qui interviennent sont tous des multiples du nombre premier p.

Si A est intègre, cette application est injective. Elle réalise un isomorphisme de A sur un sous-anneau de A. Si A est un corps fini alors cette application est bijective ; on parle d'automorphisme de Frobenius, qui est ainsi une permutation.

Toujours en supposant que A est intègre, les éléments du corps premier sont tous des points fixes de l'endomorphisme de Frobenius (ils vérifient ). Mais comme l'équation polynomiale admet au plus p solutions, le corps premier est exactement l'ensemble des points fixes.