Campo finito
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In algebra un campo finito è un campo che contiene un numero finito di elementi. I campi finiti sono importanti in teoria dei numeri, geometria algebrica, teoria di Galois e in crittografia.
I campi finiti sono completamente classificati.
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[modifica] Classificazione
I campi finiti sono classificati nel modo seguente:
- Un campo finito ha pn elementi, per qualche numero primo p e qualche numero naturale n ≥ 1.
- Per ogni numero primo p e naturale n ≥ 1, esiste un solo campo finito con pn elementi, a meno di isomorfismo.
Quindi esiste un solo campo con pn elementi, e viene solitamente indicato con Fpn.
Ad esempio, esiste un campo finito F8 = F23 con 8 elementi, mentre non ne esiste nessuno con 6 elementi, perché 6 non è la potenza di un numero primo.
Il campo Fpn ha caratteristica p.
[modifica] Classi di resto
Per n = 1, il campo Fp è il campo delle classi di resto modulo p, indicato normalmente con Z/pZ. Il gruppo soggiacente in questo caso è un gruppo ciclico di ordine p.
Per n > 1, il campo Fpn non è però isomorfo all'anello delle classi di resto Z/pnZ: quest'ultimo infatti è solo un anello, e non un campo. Il gruppo additivo soggiacente Fpn infatti non è ciclico, ma bensì isomorfo a
[modifica] Costruzione di Fpn
Il campo Fpn è costruito come il campo di spezzamento del polinomio
definito sul campo Z/pZ.
Infatti il campo di spezzamento è generato da alcuni elementi 
che spezzano il polinomio in
Le radici ri sono distinte perché il polinomio p non ha radici multiple, in virtù del fatto che la sua derivata formale
non è mai nulla. Infine, le radici formano esse stesse un campo, della cardinalità desiderata, che quindi coincide con il campo di spezzamento.
[modifica] Dimostrazione della classificazione
La dimostrazione procede nel modo seguente. Sia K un campo finito.
- Poiché finito, ha caratteristica non nulla. Poiché è un dominio d'integrità, la caratteristica è un numero primo p.
- L'elemento 1 genera (additivamente) un sottocampo con p elementi, isomorfo quindi a Z/pZ. Quindi K è uno spazio vettoriale su questo sottocampo.
- Poiché K è finito, è uno spazio vettoriale di dimensione finita n. Quindi contiene pn elementi.
- L'unicità del campo a meno di isomorfismi segue dall'unicità del campo di spezzamento.
[modifica] Proprietà
[modifica] Automorfismi
Se F è un campo con q = pn elementi, allora
- xq = x
per ogni x in F. Inoltre la mappa
- f(x) = xp
è un isomorfismo (e quindi un automorfismo), chiamato automorfismo di Frobenius, in nome del matematico Ferdinand Georg Frobenius. L'automorfismo ha ordine n.
[modifica] Sottocampi
Il campo Fpn contiene una copia di Fpm se e solo se m divide n.
[modifica] I campi finiti più piccoli
Descriviamo le operazioni di somma e prodotto nei campi finiti di ordine 2, 3 e 4.
F2:
+ | 0 1 · | 0 1 --+---- --+---- 0 | 0 1 0 | 0 0 1 | 1 0 1 | 0 1
F3:
+ | 0 1 2 · | 0 1 2 --+------ --+------ 0 | 0 1 2 0 | 0 0 0 1 | 1 2 0 1 | 0 1 2 2 | 2 0 1 2 | 0 2 1
F4:
+ | 0 1 A B · | 0 1 A B --+-------- --+-------- 0 | 0 1 A B 0 | 0 0 0 0 1 | 1 0 B A 1 | 0 1 A B A | A B 0 1 A | 0 A B 1 B | B A 1 0 B | 0 B 1 A
