Circuit RC

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Un circuit RC est un circuit électrique, l'un des filtres les plus simples, composé d'une résistance et d'un condensateur généralement associés en série, alimenté par une source de tension.

Sommaire

1 Circuit série
2 Circuit parallèle
3 Voir aussi

[modifier] Circuit série

[modifier] Tension

Circuit RC série

On exprime l'impédance du condensateur sous la forme :

$Z_C(s) = \frac {1}{Cs}$

En considérant le circuit comme un diviseur de tension, il est possible d'écrire :

$V_C(s) = \frac {Z_C}{R + Z_C} V_{in}(s) = \frac {1}{1 + RCs} V_{in}(s)$

$V_R(s) = \frac {R}{R + Z_C} V_{in}(s) = \frac {RCs}{1 + RCs} V_{in}(s)$ .

[modifier] Fonction de transfert

La fonction de transfert du condensateur est égale à :

$H_C(s) = { V_C(s) \over V_{in}(s) } = { 1 \over 1 + RCs }$

De manière similaire, la fonction de transfert de la résistance est égale à :

$H_R(s) = { V_R(s) \over V_{in}(s) } = { RCs \over 1 + RCs }$

[modifier] Pôles et zéros

Les deux fonctions de transfert possèdent un seul pôle à :

$s = - {1 \over RC }$

De plus, la fonction de transfert de la résistance possède un zéro à l'origine.

[modifier] Gain et phase

Pour un dipôle, on peut écrire la fonction de transfert sous la forme $H (s) = G e i φ$ , où $G$ est le gain du dipôle et $φ$ sa phase.

En posant $s = σ + i ω$ , le gain pour chacun des deux composants du circuit RC est :

$G_C = 20\times \log{\left| H_C(s) \right|} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\omega RC\right)^2}}$

$G_R = 20\times \log{| H_R(s) |} = \frac{\omega RC}{\sqrt{1 + \left(\omega RC\right)^2}}$

Similairement, leur phase est :

$\phi_C = \arctan \left(-\omega RC\right)$

$\phi_R = \arctan \left(\frac{1}{\omega RC}\right)$ ,

[modifier] Intensité

L'intensité du courant est la même dans tout le circuit, puisqu'il s'agit d'un circuit série :

$I(s) = \frac{V_{in}(s) }{R+Z_C} = { Cs \over 1 + RCs } V_{in}(s)$

[modifier] Réponse impulsionnelle

La réponse impulsionnelle est la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert correspondante et représente la réponse du circuit à une impulsion.

Pour le condensateur :

$h_C(t) = {1 \over RC} e^{-t / RC} u(t) = { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t)$

où $u (t)$ est la fonction de Heaviside et $\tau \ = \ RC$ est la constante de temps.

Pour la résistance :

$h_R(t) = - {1 \over RC} e^{-t / RC} u(t) = - { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t)$

[modifier] Domaine des fréquences

L'analyse du circuit dans le domaine des fréquences permet de déterminer quelles fréquences le filtre rejette ou accepte.

Quand $\omega \to \infty$ :

$G_C \to 0$

$G_R \to 1$ .

Quand $\omega \to 0$ :

$G_C \to 1$

$G_R \to 0$ .

Ainsi, lorsque la sortie du filtre est prise sur le condensateur, les hautes fréquences sont atténuées et les basses fréquences passées, un comportement type d'un filtre passe-bas. Si la sortie est prise sur la résistance, l'inverse se produit et le circuit se comporte comme un filtre passe-haut.

La fréquence de coupure du circuit est égale à :

$f_c = \frac{1}{2\pi RC}$ (en Hz)

La phase dépend également de la fréquence :

Quand $\omega \to 0$ :

$\phi_C \to 0$

$\phi_R \to 90^{\circ} = \pi/2$ .

Quand $\omega \to \infty$ :

$\phi_C \to -90^{\circ} = -\pi/2$

$\phi_R \to 0$

Aux fréquences faibles, la tension aux bornes du condensateur est en phase avec celle du signal d'entrée, tandis que la tension aux bornes de la résistance est en avance de phase. Aux fréquence élevées, la tension aux bornes de la résistance est en phase avec le signal d'entrée, tandis que le condensateur est en retard de phase.

[modifier] Domaine temporel

En supposant que le circuit est soumis à un échelon de tension en entrée ( $V i n = 0$ pour $t = 0$ et $V i n = V$ sinon) :

$V_{in}(s) = \frac{V}{s}$

$V_C(s) = V\frac{1}{1 + sRC}\frac{1}{s}$

$V_R(s) = V\frac{sRC}{1 + sRC}\frac{1}{s}$ .

La transformée de Laplace inverse de ces expressions donne :

$V_C(t) = V\left(1 - e^{-t/RC}\right)$

V R (t) = V e - t / R C

Dans ce cas, le condensateur se charge et la tension à ses bornes tend vers V, tandis que celle aux bornes de la résistance tend vers 0.

Le circuit RC possède une constante de temps, généralement notée $τ = R C$ , représentant le temps que prend la tension pour approcher sa valeur finale à mieux que $1 / e$ .

Il est également possible de dériver ces expressions des équations différentielles décrivant le circuit :

$\frac{V_{in} - V_C}{R} = C\frac{dV_C}{dt}$

V R = V i n - V C

Les solutions sont exactement les même que celles obtenues par la transformée de Laplace.

[modifier] Intégrateur

A haute fréquence, c'est à dire si $\omega >> \frac{1}{RC}$ , le condensateur n'a pas le temps de se charger et la tension à ses bornes reste faible.

Ainsi :

$V_R \approx V_{in}$

et l'intensité dans le circuit vaut donc :

$I \approx \frac {V_{in}}{R}$ .

Comme,

$V_C = \frac{1}{C}\int_{0}^{t}Idt$

on obtient :

$V_C \approx \frac{1}{RC}\int_{0}^{t}V_{in}dt$ .

La tension aux bornes du condensateur intègre donc la tension d'entrée et le circuit se comporte comme un montage intégrateur.

[modifier] Dérivateur

A basse fréquence, c'est à dire si $\omega << \frac{1}{RC}$ , le condensateur a le temps de se charger quasiment complètement.

Alors,

$I \approx \frac{V_{in}}{1/j\omega C}$

$V_{in} \approx \frac{I}{j\omega C} \approx V_C$

Maintenant,

$V_R = IR = C\frac{dV_C}{dt}R$

$V_R \approx RC\frac{dV_{in}}{dt}$ .

La tension aux bornes de la résistance dérive donc la tension d'entrée et le circuit se comporte comme un montage dérivateur.

[modifier] Circuit parallèle

Circuit RC parallèle

Le circuit RC parallèle est généralement d'un intérêt moindre que le circuit RC série : la tension de sortie étant égale à la tension d'entrée, il ne peut être utilisé comme filtre qu'alimenté par une source de courant.

Les intensités dans les deux dipôles sont :

$I_R = \frac{V_{in}}{R}$

I C = j ω C V i n

Le courant dans le condensateur est déphasé de 90° par rapport au courant d'entrée (et de la résistance).

Soumis à un échelon de tension, le condensateur se charge rapidement et peut être considéré comme un circuit ouvert, le circuit se comportant dès lors comme une simple résistance.