Circuito RC

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Un circuito RC è un circuito elettronico del primo ordine basato su una resistenza e sulla presenza di un elemento dinamico, il condensatore.

A seconda di come sono disposti i due componenti il circuito RC può filtrare le frequenze basse (filtro passa-basso) oppure quelle alte (filtro passa-alto), realizzando un filtro di primo ordine.

Per le sue caratteristiche questo circuito è basilare per funzioni quali la pulizia di un segnale e nei sintetizzatori.

Sfruttando il principio di carica e scarica del condensatore, questa configurazione trova utilizzo anche come oscillatore. In particolare, soprattutto nella didattica, è utilizzato per la generazione di segnali di clock (vedere abbinamento con Trigger di Schmitt per creare segnali di tipo logici).
Tuttavia, vista la variabilità dei comportamenti del condensatore in funzione delle condizioni ambientali, questa configurazione è utilizzata nelle applicazioni in cui la temporizzazione non necessita grande precisione.

Indice

1 Circuito RC in evoluzione libera
2 Circuito RC con generatore di tensione costante
3 Circuito RC con risposta al gradino
4 Circuito RC in regime sinusoidale
5 Voci correlate

[modifica] Circuito RC in evoluzione libera

Circuito RC in evoluzione libera

Andamento della tensione ai capi di C del circuito RC in evoluzione libera

Si chiama Circuito RC in evoluzione libera il circuito mostrato in figura composto da una resistenza e da un condensatore carico di capacità C. Evoluzione libera sinifica che il circuito non ha sorgenti esterne di tensione, la corrente circolante è dovuta solo al movimento di cariche contenute nel condensatore.

Al tempo $t 0 = 0$ la tensione ai capi di C è $V c (0) = 0$ , questa viene presa come condizione iniziale.

Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni, l'equazione del circuito è:

(1) $\;\;R \cdot I(t) + V_c(t) = 0$

dove $I (t)$ è la corrente elettrica circolante. La relazione caratteristica del condensatore è ben nota:

(2) $\;\;I(t) = C \cdot \frac{d V_c(t)}{dt}$

allora la (1) diventa un'equazione differenziale omogenea del primo ordine:

(3) $\;\;R C \cdot \frac{d V_c(t)}{dt} + V_c(t) = 0 \; \rightarrow \; \frac{d V_c(t)}{dt} + \frac{1}{RC} V_c(t) = 0$

Dalla teoria delle equazioni differenziali la sua soluzione è:

(4) $\;\;V_c(t) = V_c(0) \cdot e^{-t / RC}$

La corrente segue la:

(5) $\;\;I(t) = C \cdot \frac{dV_c(t)}{dt} = - \frac{V_c(0)}{R} \cdot e^{-t / RC}$

Al prodotto $R C = τ$ viene dato il nome di costante di tempo del circuito ed una quantità caratteristica del circuito.

Per approfondire, vedi la voce Scarica di un condensatore.

Fisicamente la quantità di carica Q contenuta nel condensatore tramite la relazione $C = \frac{Q}{\Delta V}$ al momento iniziale, nel momento in cui l'interruttore T viene chiuso, il condensatore scarica questa carica entro il circuito e si crea un passaggio di corrente elettrica: tale corrente elettrica si dissipa completamente nella resistenza R secondo la legge (5): la corrente tende esponenzialmente a zero per $t \to \infty$ . Il tempo caratteristico di questa caduta di corrente è proprio determinato dalla costante di tempo: essa è il valore dell'istante per il quale la corrente prende il valore di:

$I(\tau) = \frac{1}{e}$

[modifica] Circuito RC con generatore di tensione costante

Circuito RC con generatore di tensione costante

Anadamento della tensione per un circuito RC con generatore di tensione costante

Ipotizziamo che il generatore di tensione $V 0$ costante nel tempo, possiamo scrivere l'equazione di Kirchoff delle tensioni:

(6) $\quad V_0 = R \cdot I(t) + V_c(t)$

dove $I (t)$ è la corrente elettrica circolante. Sostituendo la relazione caratteristica del condensatore (2), la (6) diventa un'equazione differenziale non omogenea del primo ordine:

(7) $\quad V_0 = R C \cdot \frac{d V_c(t)}{dt} + V_c(t) \; \rightarrow \; \frac{d V_c(t)}{dt} + \frac{1}{\tau} V_c(t) = \frac{V_0}{\tau}$

dove $τ = R C$ è al costante di tempo del circuito. Dalla teoria delle equazioni differenziali la sua soluzione è:

(8) $\;\;V_c(t) = \left(V_c(0) - V_0 \right) \cdot e^{-t /\tau} + V_0$

La corrente segue la:

(9) $\;\;I(t) = C \cdot \frac{dV_c(t)}{dt} = - \frac{V_c(0) - V_0}{R} \cdot e^{-t / \tau}$

Fisicamente la presenza della tensione costante del generatore induce che la tensione ai capi di C $V c (t)$ cresca esponenzialmente partendo da $V c (t = 0) = V c (0)$ fino a tendere al valore della tensione costante del generatore. Dunque per $t \to \infty$ si ha che $V_c(t) \to V_0$ . Viceversa la corrente indotta nel circuito è esponenzialmente decrescente da un valore iniziale $\frac{V_c(0)}{R}$ fino a tendere al valore costante $I = \frac{V_0}{R}$ .

Quando al tendere di $t \to \infty$ la tensione $V_c(t) \to V_0 = cost$ , il circuito si comporta come un circuito aperto. A regime di tensione costante un qualsiasi circuito composto da un numero arbitrario di resistenze e di generatori di tensione costante e da un condensatore può essere quantitativamente studiato utilizzando questa proprietà, cioè supponendo che il circuito in corrispondenza del condensatore sia aperto.

In particolare la risposta del circuito RC ad una tensione costante è composta di due parti:

$\left(V_c(0) - V_0 \right) e^{-t/ \tau}$ si chiama risposta transitoria o transiente del circuito;

V 0

si chiama risposta permanente o a regime del circuito.

[modifica] Circuito RC con risposta al gradino

Circuito RC con generatore costante a tratti

Da fare

[modifica] Circuito RC in regime sinusoidale

Applichiando la trasformata di Laplace al circuito serie (generatore di tensione, resistenza, capacità) e prelevando l'uscita in parallelo al condesatore:

${R \rightarrow R}$ e ${C \rightarrow {1 \over sC}}$

Adesso il circuito si risolve come un normale partitore di tensione, per ricavare la tensione sul condensatore:

$V_c(s) = {{1 \over sC}\over{R+ {1\over sC}}}V_{in}(s) \rightarrow V_c(s) = {1 \over {1+sRC}}V_{in}(s) = {{1 \over RC}\over{s+ {1\over RC}}}V_{in}(s)$