Filtre passe-haut

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Un filtre passe-haut et un filtre qui laisse passer les hautes fréquences et qui atténue les basses fréquences, c'est-à-dire les fréquences inférieures à la fréquence de coupure. Il pourrait également être appelé filtre coupe-bas. Le filtre passe-haut est l'inverse du filtre passe-bas et ces deux filtres combinés forment un filtre passe-bande.

Le concept de filtre passe-haut est une transformation mathématique appliquée à des données (un signal). L'implémentation d'un filtre passe-haut peut se faire numériquement ou avec des composantes électroniques. Cette transformation à pour fonction d'atténuer les fréquences inférieure à sa fréquence de coupure $f c$ et ce, dans le but de conserver uniquement les hautes fréquences. La fréquence de coupure du filtre est la fréquence séparant les deux modes de fonctionnement idéaux du filtre: bloquant ou passant.

Sommaire

1 Filtre idéal
2 Filtre passe-haut analogique
- 2.1 Filtre passe-haut du premier ordre
  - 2.1.1 Circuit passif
3 Applications
4 Voir aussi

[modifier] Filtre idéal

[modifier] Filtre passe-haut analogique

Un filtre passe-haut peut-être implémenté de façons analogique avec des composantes électroniques. Par conséquence, ce genre de filtre s'applique sur des signaux continue en temps réel. Les composantes et la configuration du circuit fixeront les différentes caractéristique du filtre, tel que l'ordre, la fréquence de coupure et son diagramme de Bode. Les filtres analogique classiques sont du premier ou du second ordre. Il existes plusieurs familles de filtres analogiques: Butterworth, Tchebychev, Bessel, Elliptique, etc. L'implémentation des filtres de même famille se fait généralement en utilisant la même configuration de circuit, et ceux-ci possède la même forme de fonction de transfert, mais c'est les paramètres de celle-ci qui change, donc la valeur des composantes du circuit électrique.

[modifier] Filtre passe-haut du premier ordre

Un filtre passe-bas du première ordre est caractérisé par sa fréquence de coupure $f c$ . La fonction de transfert du est obtenue en dénormalisant le filtre passe-bas normalié en substiuant $ω n$ par $ω c / ω$ ce qui donne la fonction de transfert suivante:

$H(j \omega) = \frac{v_o}{v_i} = \frac {Kj \frac{\omega}{\omega_c}}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}$ où

ω = 2π f

ω c = 2π f c

Le module et la phase de la fonction de transfert égalent à:

$|H(\omega)| = |\frac{v_o}{v_i}|=\frac{K \frac{\omega}{\omega_c}}{\sqrt{1+\big(\frac{\omega}{\omega_c}\big)^2}}$

$\phi(\omega) = \arg H(j \omega) =\frac{\pi}{2} - \arg(1+j\frac{\omega}{\omega_c})= \frac{\pi}{2} - \arctan(\frac{\omega}{\omega_c})$

Il y a plusieurs méthodes pour implémenter ce filtre. Une réalisation active et réalisation passive sont ici présentée. À noter que K est le gain du filtre.

[modifier] Circuit passif

Schéma d’un filtre passe haut

La manière la plus simple de réaliser physiquement ce filtre est d'utiliser un circuit RC. Comme son nom l'indique, ce circuit est constitué d'un condensateur de capacité $C$ et d'une résistance $R$ . Ces deux élements sont placés en série avec la source $v i$ du signal. Le signal de sortie $v o$ est récupéré aux bornes de la résistance. Le circuit est identique à celui du filtre passe-bas mais les positions de la résistance et du condensateur sont inversées. Pour retrouver la fonction de transfer de ce filtre, il faut travailler dans le domaine de Laplace en utilisant les impédances des élements. Avec cette technique, le circuit devient un simple diviseur de tension, et on obtient:

$H(j \omega) = \frac{v_o}{v_i} = \frac {jRC\omega}{1+jRC\omega}$

Dans cette équation, $j$ est un nombre complexe, la racine carrée de -1, et $ω$ est la pulsation du circuit ou fréquence radiale, exprimée en rad/s. Comme la fréquence de coupure d'un circuit RC est:

$f_c = \frac {1}{2\pi RC}$ ou $w_c = \frac {1}{RC}$

Ici $ω c$ , la pulsation de coupure, est également la pulsation propre $ω o$ du circuit, elle est également l'inverse de la constante de temps $τ$ du circuit. Ainsi, on obtient bel et bien la fonction de transfert typique du filtre passe-bas du première ordre.

On retrouve avec les grandeurs physiques observables utilisées dans les diagrammes de Bodes :

Le gain en décibel:

$G_{dB}(\omega) = 20 \cdot \log |H(j\omega)| = -10 \cdot \log (1+{\frac{\omega_c}{\omega}}^2)$

La phase en radians:

$\phi(\omega) = \arg H(\omega) = - \arg(1+j\frac{\omega_c}{\omega})= \frac{\pi}{2} - \arctan(\frac{\omega}{\omega_c})$

On distingue alors deux situations idéales :

Lorsque $ω < < ω c$ :

$G_{dB} \sim -20 \cdot \log (\frac{\omega_c}{\omega})$ et $\phi \simeq 90$ (Le signal est filtré)

Lorsque $ω > > ω c$ :

$G_{dB} \simeq 0$ et $\phi \simeq 0$ (Le filtre est passant)

On remarque que pour $ω = ω c$ , on a $G d B = - 3 d B$ .

[modifier] Applications

Un tel filtre peut être utilisé dans une enceinte pour diriger les hautes fréquences vers un tweeter tout en bloquant les basses fréquences pouvant l'endommager. Les fréquences plus basses seront alors envoyées à un médium par l'intermédiare d'un filtre passe-bas.

Les filtres passe-haut et passe-bas sont aussi utilisés dans le traitement d'image, afin de réaliser des transformations dans le domaine fréquentiel.