Circuit RLC

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Un circuit RLC en électrocinétique est un circuit linéaire contenant une résistance électrique, une bobine (inductance) et un condensateur (capacité).

Il existe deux type de circuits RLC série ou parallèle, selon l'interconnexion des trois types de composants. Le comportement d'un circuit RLC est généralement décrit par une équation différentielle du second ordre (là ou des circuit RL ou circuit RC se comportent comme des circuits du premier ordre).

A l'aide d'un générateur de signaux, on peut injecter dans le circuit des oscillations et observer dans certains cas une résonance, caractérisée par une augmentation du courant (lorsque le signal d'entrée choisi correspond à la pulsation propre du circuit, calculable à partir de l'équation différentielle qui le régit).

Sommaire

1 Circuit RLC en série
- 1.1 Circuit soumis à un échelon de tension
- 1.2 Circuit soumis à une tension sinusoïdale
2 Circuit RLC en parallèles
- 2.1 Circuit soumis à une tension sinusoïdale
3 Voir aussi

[modifier] Circuit RLC en série

[modifier] Circuit soumis à un échelon de tension

Si un circuit RLC série est soumis à un échelon de tension $E \,$ , la loi des mailles impose la relation :

$E = u_C + L\frac{di}{dt} + R_ti$

En introduisant la relation caractéristique du condensateur :

$i_C = i = C\frac{du_C}{dt}$

on obtient l'équation différentielle du second ordre

$E = u_C + LC \frac{d^2u_c}{dt^2} + R_tC \frac{du_c}{dt}$

Avec :

E la force électromotrice du générateur, en V ;
u_C la tension aux bornes du condensateur, en V ;
L l'inductance de la bobine, en H ;
i l'intensité du courant électrique dans le circuit, en A ;
q la charge électrique du condensateur, en C ;
C la capacité électrique du condensateur, en F ;
R_t la résistance totale du circuit, en Ω ;
t le temps en s

Dans le cas d'un régime sans pertes, c'est à dire pour $R = 0 \,$ , on obtient une solution se mettant sous la forme :

$u_c = E \cos (\frac{2 \pi t}{T_0} + \phi )$

$T_0 = 2\pi \sqrt{LC}$

Avec :

T₀ la période d'oscillation, en secondes ;
φ la phase à l'origine (le plus souvent choisie telle que φ = 0)

[modifier] Circuit soumis à une tension sinusoïdale

La transformation complexe appliquée aux différentes tensions permet d'écrire la loi des mailles sous la forme :

$\underline U_G = \underline U_C +\underline U_L +\underline U_R \,$

soit, en introduisant les impédances complexes :

$\underline U_G = \frac{-\mathbf{j}}{C\omega} \underline I +\mathbf{j}L\omega \underline I +R_t\underline I = \left[R_t+\mathbf{j}(L\omega-\frac{1}{C\omega})\right] \underline I$

La fréquence angulaire de résonance en intensité d'un tel circuit ω₀ est donnée par :

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Pour cette fréquence la relation ci dessus devient :

$\underline U_G =\underline U_R= R_t\underline I \,$ , et on a $\underline U_L = -\underline U_C = \frac{\mathbf{j}}{R_t} \sqrt{\frac{L}{C}} \cdot \underline U_G \,$

[modifier] Circuit RLC en parallèles

$i_R = \frac{u}{R}$
$\frac{di_L}{dt} = \frac{u}{L}$
$i_C = \frac{dq}{dt} = C\,\frac{du}{dt}$
$\, i = i_R + i_L + i_C$
$\Rightarrow \frac{di}{dt} = C \ \frac{d^2u}{dt^2} + \frac{1}{R} \frac{du}{dt} + \frac{1}{L} \ u$

Attention : La branche C est en court-circuit : on ne peut pas brancher A,B directement aux bornes d'un générateur E, il faut lui ajouter une résistance.

Les 2 conditions initiales sont :

$\, i_{L0}$ garde sa valeur avant la mise sous tension (car l'inductance s'oppose à la variation du courant)
$\, q_0$ garde sa valeur avant la mise sous tension $\Rightarrow u_0 = q_0 / C$ .

[modifier] Circuit soumis à une tension sinusoïdale

La transformation complexe appliquée aux différentes intensités donne :

$\underline I = \underline I_R +\underline I_L +\underline I_C \,$

soit, en introduisant les impédances complexes :

$\underline I = \frac{1}{R} \underline U + \frac{1}{\mathbf{j}L\omega} \underline U + \mathbf{j} C \omega \underline U$ $= \left[\frac{1}{R} +\mathbf{j}(C\omega-\frac{1}{L\omega})\right] \underline U$

La fréquence angulaire de résonance en intensité d'un tel circuit ω₀ est donnée par :

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Pour cette fréquence la relation ci dessus devient :

$\underline I = \underline I_R = \frac{1}{R}\underline U \,$ , et on a $\underline I_C = -\underline I_L = \mathbf{j} \sqrt{\frac{C}{L}} \cdot \underline U \,$