Transformée de Laplace

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Sommaire

1 Définition
2 Inversion
3 Propriétés
4 Quelques transformées usuelles
5 Voir aussi
- 5.1 Lien interne
- 5.2 Lien externe

[modifier] Définition

En mathématiques et en particulier en analyse fonctionnelle, la transformée de Laplace d'une fonction $f\,$ définie pour tout nombre réel $t \ge 0\,$ est la fonction $F\,$ , définie par:

$F(p) = \mathcal{L}\{f\}(p) =\int_0^{+\infty} e^{-pt} f(t)\,dt.$

Les propriétés de cette transformation lui confèrent une grande utilité dans l'analyse des systèmes dynamiques linéaires. La plus intéressante de ces propriétés est que l'intégration et la dérivation deviennent des divisions et des multiplications, de la même manière que le logarithme transforme la multiplication en addition. Elle permet ainsi de ramener la résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants à la résolution d'équations affines (dont les solutions sont des fonctions rationnelles de la variable s) (voir Application de la transformation de Laplace aux équations différentielles).

La transformation de Laplace est très utile pour résoudre des équations différentielles et déterminer la fonction de transfert d'un système linéaire. Par exemple en électronique, contrairement à la transformation de Fourier qui est utilisée pour la détermination du spectre d'un signal périodique (c'est-à-dire la décomposition en somme de sinusoïdes et ce avec des bornes infinies, donc en régime permanent), elle tient compte de l'existence d'un régime transitoire précédant le régime permanent (exemple : la prise en compte de l'allure du signal avant et après la mise en marche d'un générateur de fréquence).

Il suffit en effet de transposer l'équation différentielle dans le domaine de Laplace pour obtenir une équation beaucoup plus simple à manipuler.

Par exemple, lors de l'étude d'une machine à courant continu : $e(t)=R \cdot i(t)+L\, \frac{di(t)}{dt}\,$ dans le domaine temporel devient $E(p)=R \cdot I(p)+p \cdot L \cdot I(p)\,$ dans le domaine de Laplace. Attention ceci n'est valable dans ce cas que si les conditions initiales du signal i(t) sont nulles.

On a utilisé ici des propriétés de la transformation de Laplace, explicitées ci-dessous.

Remarque : la notation "s" (variable de Laplace) est souvent utilisée dans les pays anglo-saxons alors que la notation "p" est utilisée notamment en France et en Allemagne. La transformation de Laplace est très souvent appliquée à des signaux causaux c'est à dire nuls avant 0.

[modifier] Inversion

L'inversion de la transformation de Laplace s'effectue par le moyen d'une integrale dans le plan complexe. On démontre sans difficulté que pour t positif,

$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F(p)\} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{ \gamma - i \cdot \infty}^{ \gamma + i \cdot \infty} e^{pt} F(p)\,dp,$

où $γ$ est choisi pour que l'intégrale soit convergente, ce qui implique que $γ$ soit supérieur à la partie réelle de toute singularité de F(p).

[modifier] Propriétés

[modifier] Linéarité

$\mathcal{L}\left\{a f + b g \right\} = a\, \mathcal{L}\left\{ f \right\} + b\, \mathcal{L}\left\{ g \right\}$

[modifier] Dérivation

$\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0+)$

$\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0+) - f'(0+)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

$\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)$

$\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

La cinquième formule peut s'écrire comme l'exemple pour prouver:

On y commence de $\mathcal\, F(\sigma)=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt{\mid}_{s=\sigma} \,$

et puis : $\mathcal\, \int_s^{\infty}F(\sigma)d{\sigma}=\int_0^{\infty}\int_s^{\infty}e^{-{\sigma}t}f(t)dtd{\sigma}\,$

$\mathcal\, \Longrightarrow \int_s^{\infty}F({\sigma})d{\sigma}=\int_0^{\infty}f(t)dt \cdot \int_s^{\infty}e^{{-\sigma}t}d{\sigma} \,$

Alors, on peut comprendre

$\mathcal\, \int_s^{\infty}F(\sigma)d{\sigma}=\int_0^{\infty}f(t)dt \cdot (\frac{1}{t}e^{-{\sigma}t}) \,$

Où sois $\mathcal\, \frac{f(t)}{t} \,$ comme "la nouvelle $\mathcal\, F(t) \,$ " en $\mathcal\, \mathcal{L}\{F(t)\} \,$

C'est à dire : $\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

[modifier] Intégrale

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau) d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}$

$\mathcal{L}\left\{ \int_a^t f(\tau) d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}+ {1 \over s}\int_a^0 f(\tau)d\tau$

[modifier] Valeur finale

$\lim_{t \to +\infty} f(t)=\lim_{s \to 0} sF(s)$

[modifier] Convolution

$\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}$

[modifier] Transformée de Laplace d'une fonction de période p

$\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt$

On peut montrer la formule de la manière suivante :

$\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{p}e^{-st}f(t)dt{\mid}_{t=T}+\int_{p}^{2p}e^{-st}f(t)dt{\mid}_{t=T+p}\int_{2p}^{3p}e^{-st}f(t)dt{\mid}_{t=T+2p}+...\,$

$\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{p}e^{-st}f(T)dT+\int_{p}^{2p}e^{-s(T+p)}f(T+p)dT+\int_{2p}^{3p}e^{-s(T+2p)}f(T+2p)dT+...\,$

$\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{p}e^{-sT}f(T)dT+e^{-sp}\int_{0}^{p}e^{-sT}f(T)dT+e^{-2sp}\int_{0}^{p}e^{-sT}f(T)dT+...\,$

On regroupe les termes :

$\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=(1+e^{-sp}+e^{-2sp}+...)\int_{0}^{p}e^{-sT}f(T)dT{\mid}_{T=t} \,$

Alors, $\mathcal{L}\{ f \}={1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt$

[modifier] Quelques transformées usuelles

La transformée de Laplace n'est valide que pour des t supérieur a $0^-\,$ c'est pour cela que toute les fonction qui suivent dans cette table sont multiple de u(t) (fonction echelon unité).

	Fonction	Domaine temporel $x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}$	Transformée de Laplace $X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}$	Région de convergence
1	delai idéal	$\delta(t-\tau) \$	$e^{-\tau s} \$
1a	impulsion unité	$\delta(t) \$	$1 \$	$\forall \ s \,$
2	retard à la n-ième puissance avec décalage fréquenciel	$\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)$	$\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$s > 0 \,$
2a	puissance n-ième	${ t^n \over n! } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{n+1} }$	$s > 0 \,$
2a.1	puissance q-ième	${ t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{q+1} }$	$s > 0 \,$
2a.2	echelon unité	$u(t) \$	${ 1 \over s }$	$s > 0 \,$
2b	echelon retardé	$u(t-\tau) \$	${ e^{-\tau s} \over s }$	$s > 0 \,$
2c	rampe	$t \cdot u(t)\$	$\frac{1}{s^2}$	$s > 0 \,$
2d	retard avec décalage fréquenciel	$\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$s > - \alpha \,$
2d.1	décroissance exponentielle	$e^{-\alpha t} \cdot u(t) \$	${ 1 \over s+\alpha }$	$s > - \alpha \$
3	approche exponentielle	$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$	$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$	$s > 0\$
4	sinus	$\sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
5	cosinus	$\cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
6	sinus hyperbolique	$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > \| \alpha \| \$
7	cosinus hyperbolique	$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > \| \alpha \| \$
8	Décroissance exponentielle d'une onde sinusoidale	$e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
9	Décroissance exponentielle d'une onde cosinusoidale	$e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
10	n-ième racine	$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$	$s > 0 \,$
11	logarithme	$\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)$	$- { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ]$	$s > 0 \,$
12	Fonction de Bessel du premier type, d'ordre n	$J_n( \omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}$	$s > 0 \,$ $(n > -1) \,$
13	Fonction de Bessel modifiée du premier type, d'ordre n	$I_n(\omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}$	$s > \| \omega \| \,$
14	Fonction d'erreur	$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$	${e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}$	$s > 0 \,$
Notes: $u(t) \,$ represente la fonction de Heaviside. $\delta(t) \,$ represente la Fonction de Dirac. $\Gamma (z) \,$ est la Fonction gamma. $\gamma \,$ est la constante d'Euler-Mascheroni. $t \,$ , est un nombre réél, il represente typiquement le temps, mais peut désigne n'importe quel autre quantité. $s \,$ est un nombre complexe. $\alpha \,$ , $\beta \,$ , $\tau \,$ , and $\omega \,$ sont des nombres réels. $n \,$ est un entier. [modifier] Voir aussi [modifier] Lien interne Transformée en Z [modifier] Lien externe Exercices pratiques sur les transformées de Laplace