Геометрија

Из пројекта Википедија

Геометрија (грчки: γεω = земља, μετρεω = мерим, те geometria = земљомерство) је грана математике која се бави проучавањем особина и међусобних односа просторних облика тј. геометријских тела, површина, линија и тачака.

У свом првобитном значењу геометрија се схватала као наука о фигурама, о узајамном положају и размерама њихових делова, и такође о трансформисању фигура.

Садржај 1 Историјски развој геометрије 1.1 Период настанка 1.2 Период систематског излагања 1.3 Аналитичка геометрија 1.4 Изградња нееуклидских геометрија 1.5 Теорија релативности 2 Подела геометрије 2.1 Главне области 3 Види још 4 Спољашње везе

[уреди] Историјски развој геометрије

Историја геометрије сеже до античког доба, али је њена колевка несумљиво Исток. Развој геометрије се може поделити на четири периода, чије је границе немогуће обележити одређеним датумима:

1. период настанка, до око V. века старе ере;
2. период систематског излагања, античка Грчка;
3. аналитичка геометрија, од настанка капитализма у Европи;
4. изградња нееуклидских геометрија, до данас.

[уреди] Период настанка

Геометрија се као наука први пут појавила у древном Египту, Вавилонији и Грчкој у вези са развојем културе премеравања тла. Отуда и потиче назив геометрије.

Египћани су развили индуктиван метод закључивања - од појединачног ка општем (нпр. приметили су да један троугао има 3 угла, па су нацртали други троугао и приметили исто, итд. док нису закључили да сви троуглови имају по три угла, тада су то узели за неку основну вредност - аксиому).

Религиозни обреди су били повезани с конструкцијом жртвеника (в. Делски проблем), а практичне потребе људи учиниле су нужним да се измере површине делова земље, запремине судова и остава за жетву. Геометријска разматрања и факта су се у основном сводила на правила израчунавања површина и запремина и треба претпоставити да су ова правила имала више емпиријски него логички карактер.

У VII. веку старе ере геометријско знање је, по мишљењу грчких историчара, пренесено из Египта и Вавилоније у Грчку. Око 4-5 века п.н.е. Грчки филозофи су се почели упознавати са египатском и вавилонском мудрошћу. Од тада настаје други период развоја геометрије, период систематског излагања геометрије као науке, када се све тврдње (искази) доказују.

[уреди] Период систематског излагања

У овом периоду су већ познате у Грчкој Талесове теореме (VI. век старе ере). Талес из Милета је путовао у Египат и тамо од свештеника упознао њихове геометријске и астрономске закључке o суми углова у троуглу, о уписаном углу (у круг) итд.

Грци су развили нови метод закључивања - дедуктиван метод (обрнуто од индуктивног - од општег ка појединачном). Анаксагора (6. век старе ере) се бавио квадратуром круга и перспективом. Питагора је открио несамерљиве дужи (ирационални бројеви). Питагора је оснивач чувене школе "Полукруг" која је дала велики допринос математици. Питагорејци су закључили да је збир углова у троуглу 180 степени, открили су први, трећи и четврти став подударности троугла, и наравно чувену Питагорину теорему: Збир квадрата катета у правоуглом троуглу једнак је квадрату хипотенузе. из које су изведене многе сложеније формуле. Хипократ Хионски (5. век старе ере), Питагорин сљедбеник, изложио је систематски геометрију ("Елементи геометрије") и одредио површину месечева српа.

Платон и његов ученик Аристотел (4. век старе ере), ако и нису оставили никаквих дела у геометрији, придавали су велики значај систему и основама геометрије. Платон је први почео да поставља аксиоме (основне законе, који се узимају при извођењу сложенијих), међутим у његово време много аксиома су искључивале једна другу, и било је веома тешко знати шта је тачно, а шта не. Тако је геометрија у Грчкој достигла онај степен кад је постало нужно да се она систематизује.

Систематизацију (елементарне) геометрије је учинио Еуклид (3. век старе ере) изложивши је на бази основних формулација-аксиома у својим знаменитим књигама Елементи, које обухватају 13 томова. Еуклид је користио постулате :

1. Претпоставља се да је могуће да се од сваке тачке, до сваке друге тачке може повући линија.
2. Претпоставља се да је могуће да се свака права, пратећи њен правац, продужи неограничено.
3. Претпоставља се да је могуће да се око сваке тачке у некој равни може описати круг било којег пречника.
4. Претпоставља се да су сви прави углови међу собом подударни.
5. Ако се правом пресеку 2 праве, тако да граде унутрашње углове чији је збир мањи од збира 2 права угла, тада се те две праве секу са оне стране, са које се ти углови налазе.

После Еуклида јавља се у Грчкој низ истакнутих математичара: Архимед, Аполоније, Ератостен (3.век старе ере) и други, који су обогатили геометрију новим открићима.

Распад античког робовласничког уређења довео је до застоја у развоју геометије у Грчкој, али се она и даље разивјала у земљама арапског Истока, у средњој Азији и Индији.

[уреди] Аналитичка геометрија

Настанак капитализма у Европи је довео до новог, трећег периода развоја геометрије. У првој половини XVII века настала је аналитичка геометрија, чији су творци били Декарт и Ферма. Аналитичка геометрија изучава својства геометријских фигура на основу њихових алгебарских једначина, ослањајући се на координатни метод. У вези с развојем диференцијалног рачуна и испитивањем геометријских својстава фигура локалног карактера (у околини дате тачке) поникла је у XVIII веку диференцијална геометрија у делима Ојлера и Монжа.

Радовима Ж. Дезарга и Б. Паскала рађа се у првој половини XVII века пројективна геометрија, која је настала у почетку при изучавању представа перспективе и после тога се развијала при изучавању оних својстава фигура које се не мењају ако се фигуре пројектују с једне равни на другу из било које тачке простора (централна пројекција), и на крају била завршена радовима Ж. Понселеа.

[уреди] Изградња нееуклидских геометрија

Четврти период развоја геометрије обележен је изградњом нееуклидових геометрија од којих је прва била геометрија Лобачевског коју је Лобачевски изградио истражујући основе геометрије, и посебно, аксиоме о паралелним правама. Садржај своје геометрије Лобачевски је први пут изнео на седници физико-математичког факултета Казанског универзитета 1826. године. Рад је био публикован 1829. г. Мађарски математичар Јанош Бојаи је публиковао рад о истом овом питању, у мање развијеној форми, 1832. године. Од настанка геометрије Лобачевског улога аксиоматичког метода у математици уопште и у геометрији посебно постала је веома значајна. Еуклидова геометрија (обична елементарна геометрија која се изучава у школи) је после тога добила такође своју аксиоматичку основу.

Хилберт је на крају 18. века први поставио конкретан систем аксиома Еуклидове геометрије, тзв. Хилбертове аксиоме. Аксиоматске основе добиле су и друге геометрија: Лобачевског, пројективна, афина, вишедимензионална Еуклидова (n димензија) и др.

[уреди] Теорија релативности

Историчари природних наука још увек нису решили дилему да ли је специјална релативност зачета у данас чувеном Ајнштајновом чланку из 1905 г., или је постојала и раније у радовима Лоренца (Lorentz) и Поенкареа (Poincaré). Уствари појам "одговарајућих стања" који Лоренц користи у свом чланку из 1904. у много чему је претеча релативистичких идеја, мада се још увек ослања на бесмислени појам етра. Међутим, међу историчарима има веома мало дилема око тврдње да је Ајнштајн скоро потпуно сам створио Општу теорију релативности. Исто тако може се рећи да корени ове теорије леже у далекосежним геометријским истраживањима Г. Ф. Римана (G. F. B. Riemann), који је са своје стране био инспирисан Гаусовим (Gauss) ремек делом Disquistiones generales circa superficies curvas, о диференцијалној геометрији закривљених површи. Главна тема у Општој теорији релативности је да присуство материје утиче на геометрију простора, који, услед тога престаје да буде еулидски. Ајнштајн је имао претходнике који су имали чудне, снажне слутње о будућем току развоја науке. Риман се једно време поигравао идејом да је реални простор закривљен. Познати физичар и физиолог Хелмхолц (H. Helmholtz, 1821-1894.) истраживао је физичке аспекте Риманове теорије, и поставио је, на основу астрономских посматрања, границе могуће закривљености простора. Геометар Клифорд (W. K. Clifford, 1845-1879.) замишљао је материју као таласање у закривљеном простору. Многе његове идеје касније су се поново појавиле у општој релативнсти. Сви ови покушаји, колико год да буду бриљантни, били су преурањени. Физичарима је недостајао појам просторно-временске вишеструкости, а такође није била схваћена кључна улога електродинамике. Потпуно стварање релативистичке теорије гравитације десило се тек на крају Првог светског рата.

Ајнштајн није лако дошао до крајњих резултата. Биле су му потребне године интелектуалних лутања док је открио облик једначина поља. Неки од његових најбољих колега и пријатеља су чак сматрали да је "скренуо", занет неком неостварљивом фантазијом. Може се претпоставити да га је принцип еквивалентности интересовао чак 1911. г. Кад се вратио из Прага у Цирих, 1912. г., срео је Марсела Гросмана (M. Grossmann) и почео да проучава Гаусове криволинијске координате и њихова уопштења. Преко Гросмана упознао је и апсолутни диференцијални рачун, који су развили италијански математичари Грегорио Ричи и Тулио Леви - Чивита (G. Ricci, T. Levi - Civita). Из историјских извора је познато да је Луиђи Бијанки (L. Bianchi), веома утицајна личност међу математичарима оног доба у Италији, био веома скептичан критичар апсолутног диференцијалног рачуна, тако да је ова математичка техника стекла заслужено признање тек захваљујући развоју теорије релативности. После низа неуспешних покшаја, коначна верзија теорије била је завршена 1916. г., само годину дана пошто је Карл Шварцшилд (K. Schwarzchild) нашао решење једначина гравитационог поља које данас носи његово име. Спектакуларну потврду исправности, теорија је добила 1919. г., када је једна експедиција на Принчево острво (Prince Island), под вођством Едингтона, приликом посматрања помрачења Сунца успела да измери скретање светлосних зрака у гравитационом пољу Сунца.

(Детаљ из забелешки са предавања које је др. Тулио Реге (Tullio Regge), професор Универзитета у Торину, Италија, иначе светски цењен познаваоц из области физике високих енергија и космологије, одржао 1982/83. школске године у Европској организацији за нуклеарна истраживања (ЦЕРН) у Женеви.)

[уреди] Подела геометрије

Данас геометрија садржи многобројне геометрије и теорије, између којих нема тачних граница. При томе се поједине геометријске теорије уско преплићу с анализом (диференцијална геометрија), с теоријом скупова (теорија скупова тачака, топологија). Свака геометрија се разликује од друге према томе какав простор изучава (Еуклидов, Лобачевсковљев), каквим методама се служи (на пример, Аналитичка теорија кривих 2. реда у Аналитичкој геометрији, или чисто геометријска, синтетичка теорија кривих 2. реда у Синтетичкој геометрији), какве објекте (фигуре) или њихова својства изучава (на пример, могу се разматрати полиедри и њихова својства, криве и површи, итд). Питања метрике (мерење дужина, углова и површина) доводе до појма метричке геометије, док питања инциденције (припадања, распореда) доводе до појма геометрије положаја, тј. Пројективна геометрија.

Питања о основама геометрије доводе до одељка елементарна геометрије, која изучава њене логичке основе, њену аксиоматику и устројство. Ова научна дисциплина се назива Основе геометрије.

Свака од геометрија може се окарактерисати (дефинисати), по предлогу Клајна (вд. Ерлангенски програм), одговарајућом групом оних трансформација које она изучава. Тако се елементарна геометрија карактерише групом Еуклидових кретања, афина - групом афиних трансформација, пројективна - групом свих колинеација (пројективних трансформација)

[уреди] Главне области

• Планиметрија - геометрија равни;
• Стереометрија - геометрија (3-дим.) простора;
• Тригонометрија - мерење углова и дужи;
  • Равнинска тригонометрија - на Еуклидској равни;
  • Сферна тригонометрија - на сферним површинама;
  • Хиперболичка тригонометрија - на псеудосферама;
    • Хиперболичке функције - синус, косинус, ..., косеканс хиперболни;
• Аналитичка геометрија - изражавање координатама;
• Диференцијална геометрија - проучавање методама диференцијалног рачуна.

[уреди] Види још

• Хилбертове аксиоме
• Нееуклидска геометрија
• Тачка
• Збир углова у троуглу
• Стереометрија
• Круг
• Пи

[уреди] Спољашње везе

• Еуклидови елементи [1]
• Историја математике, Лобачевски [2]
• What Is Geometry?
• Geometry Step by Step from the Land of the Incas by Antonio Gutierrez.
• Geometry. From Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
• Islamic Geometry