Равнинска тригонометрија

Из пројекта Википедија

Равнинска тригонометрија, или једноставно тригонометрија, је грана математике која се бави решавањем троуглова Еуклидске планиметрије, тј. елементарне геометрије једне равни. Она је од огромног практичног значаја у различитим областима као што су инжењерство, архитектура, геодезија, навигација и астрономија. Тригонометријске функције имају посебно важну улогу у анализи и користе се за представљање таласа и других периодичних појава.

Садржај

1 Тригонометријске функције
2 Основне тригонометријске формуле
3 Синусоиде
- 3.1 Сабирање синусоида
4 Решавање троугла
- 4.1 Правоугли троугао
- 4.2 Косоугли троугао
5 Циклометријске функције (аркус)
- 5.1 Изражавање једних аркус-функција с другима
- 5.2 Основни односи

[уреди] Тригонометријске функције

Тригонометријске функције су функције угла: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Понекад их називамо тригонометријским односима. За тангенс ћемо овде користити уобичајену англосаксонску ознаку tan, мада се код нас се чешће користи tg; за котангенс, уместо cot ми обично пишемо ctg; косеканс, који иначе ретко користимо, заједно са англосаксонским csc пишемо и cosec. Остале наведене тригонометријске функције имају једнаке скраћенице код нас и у већем делу света. Данас се веома ретко срећу још два назива тригонометријских функција: синус версус и косинус версус.

[уреди] Правоугли троугао

На слици 1. је фигура: правоугли троугао $A B C$ , са истоименим страницама (мала слова абецеде) насупрот темена (велика слова) и углом алфа (мало грчко слово $α$ ) у темену $A$ . Дакле, наспрамна катета темену $A$ је $a$ , налегла катета је $b$ , хипотенуза је $c$ . Дефинишемо основне четири тригонометријске функције: синус, косинус, тангенс и котангенс, истог угла алфа.

Сл.1. Правоугли троугао

$\sin \alpha = \frac{a}{c}, \quad \cos \alpha = \frac{b}{c}$ ,

$\tan \alpha = \frac{a}{b}, \quad \cot \alpha = \frac{b}{a}$ .

Постоје још две основне тригонометријске функције угла, косеканс и секанс:

$\csc \alpha = \frac{c}{a}, \quad \sec \alpha = \frac{c}{b}$ .

Косеканс се код нас чешће пише cosec α. Kao што је дефинисано, три од ових функција су реципрочне осталим три:

$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}, \quad \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}, \quad \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$ .

Из истих дефиниција изводимо:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \cot \alpha = \frac{\csc \alpha}{\sec \alpha}, \quad \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$ .

Следеће основне релације, које се називају основни тригонометријски идентитети, или Питагорини идентитети, засноване су на Питагориној теореми:

$\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha =1, \quad 1 + \tan ^2 \alpha = \sec ^2, \quad 1 + \cot ^2 \alpha = \csc ^2 \alpha$ .

[уреди] Основни углови

Вредности тригонометријских функција за неке углове се могу добити једноставно из једнакостраничног троугла и квадрата, који имају углове 60°, 35°, 45°.

Сл.2. Једнакостранични троугао

На слици (2.) имамо фигуру једнакостраничног троугла ABC страница дужине a. Његови унутрашњи углови су по 60°, а угао у темену C између висине и странице је 30°. Висина CD има дужину $h= \frac {a \sqrt{3}}{2}$ , што се лако добија применом Питагорине теореме на правоугли троугао ADC. Из истог правоуглог троугла налазимо вредности:

$\sin 60^o=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60^o = \frac{1}{2}, \quad \tan 60^o = \sqrt{3}, \quad \cot 60^o = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ,

$\sin 30^o=\frac{1}{2}, \quad \cos 30^o = \frac{ \sqrt{3}}{2}, \quad \tan 30^o = \frac{ \sqrt{3}}{3}, \quad \cot 30^o = \sqrt{3}$ .

Сл.3. Квадрат

На следећој слици (3.) је квадрат странице a. Темена AC спојена су дијагоналом $d=a \sqrt{2}$ , што се лако добије применом Питагорине теореме на правоугли троугао ABC. У истом правоуглом троуглу налазимо:

$\sin 45^o = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 45^o = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \tan 45^o = 1, \quad \cot 45^o = 1$ .

[уреди] Тригонометријска кружница

Тригонометријске функције угла α се могу дефинисати и помоћу тригонометријске кружнице. Тригонометријска кружница је полупречника 1 са центром у исходишту координатних оса. На слици даље (Сл.4.) полупречници OA, OC и OE су јединичне дужине. Тачка О је исходиште координатног система, овде Декартовог правоуглог. Угао α је AOC, где је крак OA непокретан. Апсциса и ордината (хоризонтална и вертикална оса бројева) су косинусна и синусна оса. Тангенсна и котангенсна оса се дефинишу као тангенте на тригонометријску кружницу у крајњој тачки десно, односно горе. Исходиште тангенсне осе на слици би била тачка А, а котангенсне Е. Упоређивањем кружнице (Сл.4), $O A = O C = 1$ , и правоуглог троугла (Сл.1.), налазимо:

Сл.4. Тригонометријска кружница

$\sin \alpha = BC = \frac{a}{c}, \quad$ синус угла алфа;

$\cos \alpha = OB = \frac{b}{c}, \quad$ косинус;

$\tan \alpha =AD = \frac{a}{b}, \quad$ тангенс;

$\cot \alpha = EF = \frac{b}{a}, \quad$ котангенс;

$\sec \alpha = OD = \frac{c}{b}, \quad$ секанс;

$\csc \alpha = OF = \frac{c}{a}, \quad$ косеканс.

Међутим, на тригонометријској кружници можемо доследно дефинисати вредности тригонометријских функције за углове 0°, 90°, па и за остале. Пројекција тачке C на косинусну осу (тачка B) је косинус угла α, синус је пројекција тачке С на синусну (обично Y) осу, продужетак покретног крака OC датог угла пресеца тангенсну и котангенсну осу у вредностима тангенса и котангенса тог угла.

**Знак тригонометријске функције**
Квадрант	Величина угла	sin	cos	tan	cot	sec	csc
I	од 0° до 90°	+	+	+	+	+	+
II	од 90° до 180°	+	-	-	-	-	+
III	од 180° до 270°	-	-	+	+	-	-
IV	од 270° до 360°	-	+	-	-	+	-

[уреди] Мерење угла

Углове меримо у степенима - уобичајеним у пракси, у радијанима - уобичајеним у теорији, и ретко у градима (лат. Gradus - корак, степен, ступањ):

Степен је 90-ти део правог угла, угао од једног степена означава се 1°. Према томе, пун угао је 360°, испружен угао је 180°.
Радијан је централни угао над луком тригонометријске кружнице чија је дужина једнака радијусу. Како пун угао одговара дужини целе кружнице (обиму) $2π r$ , један радијан има $\frac{360^o}{2 \pi}=57^o17'44''$ с тачношћу од 1". Обратно, 1 радијан = 57,3°.
Град је стоти део правог угла, пише се p. Један град се дели на сто делова који се називају метричке минуте (1') и чији се стоти део назива метричка секунда (1"). Град као јединица мере био је уведен заједно са метарским системом мера крајем XVIII века. Међутим, град није постигао широку примену у пракси.

**Вредности тригонометријских функција основних углова**
Степен	Радијан	sin	cos	tan	cot	sec	csc
0°	0	0	1	0	∞	1	∞
30°	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2 \sqrt(3)}{3}$	2
45°	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1	1	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$
60°	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	2	$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
90°	$\frac{\pi}{2}$	1	0	∞	0	∞	1

[уреди] Основне тригонометријске формуле

[уреди] Функције једног угла

$\sin ^2 + \cos ^2 = 1, \quad \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\tan \alpha, \quad \sin \alpha \cdot \csc \alpha = 1$ ,

$\sec ^2 \alpha - \tan ^2 \alpha = 1, \qquad \cos \alpha \cdot \sec \alpha = 1$ ,

$\csc ^2 \alpha - \cot ^2 \alpha = 1, \quad \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha, \quad \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$

[уреди] Међусобно изражавање функција

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos ^2 \alpha} = \frac{ \tan \alpha}{ \sqrt{ 1 + \tan ^2 \alpha}},$

$\cos \alpha = \sqrt{1- \sin ^2 \alpha}=\frac{1}{\sqrt{1+ \tan ^2 \alpha}} ,$

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1- \sin ^2\alpha}}=\frac{1}{\cot \alpha},$

$\cot \alpha = \frac{\sqrt{1- \sin ^2\alpha}}{\sin \alpha}= \frac{1}{\tan \alpha}.$

[уреди] Функције збира и разлике

$\sin ( \alpha \pm \beta )= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta,\,$

$\cos (\alpha \pm \beta )= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta,$

$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}, \quad \cot ( \alpha \pm \beta ) = \frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}.$

$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}, \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha},$

[уреди] Функције вишекратног угла

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \quad \sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha,$

$\cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha, \quad \cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha,$

$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}, \quad \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha},$

$\cot2\alpha=\frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}, \quad \cot3\alpha=\frac{\cot^3\alpha-3\cot\alpha}{3\cot^2\alpha-1},$

$\tan4\alpha=\frac{4\tan\alpha-4\tan^3\alpha}{1-6\tan^2\alpha+\tan^4\alpha}, \quad \cot4\alpha=\frac{\cot^4\alpha-6\cot^2\alpha+1}{4\cot^3\alpha-4\cot\alpha}.$

За веће n прикладнија је Моаврова формула за комплексан број, развијена у биномни ред:

$\cos n \alpha +i \sin n \alpha = (\cos\alpha+ i \sin\alpha )^n = \,$

$\cos^n\alpha+in \cos^{n-1}\alpha \sin\alpha - C_n^2 \cos^{n-2}\alpha \sin^2\alpha - -iC_n^3 \cos^{n-3}\alpha \sin^3\alpha + C_n^4 \cos^{n-4}\alpha \sin^4\alpha + ...,$

где је $C_n^k = C(n, k) ={n \choose k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)}{k \cdot (k-1) \cdots 1} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ биномни коефицијент.
Отуда је:

$\cos n \alpha = \cos^n\alpha-C_n^2\cos^{n-2}\alpha \sin^2\alpha+C_n^4\cos^{n-4}\alpha \sin^4\alpha - C_n^6\cos^{n-6}\alpha \sin^6\alpha + ...,$

$\sin n \alpha = n \cos ^{n-1} \alpha \sin \alpha - C_n^3 \cos ^{n-3} \alpha \sin ^3\alpha +C_n^5 \cos ^{n-5} \alpha \sin ^5 \alpha - ....$

[уреди] Збир и разлика функција

$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},$

$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},$

$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},$

$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},$

$\tan\alpha\pm\tan\beta=\frac{\sin (\alpha\pm\beta )}{\cos\alpha\cos\beta}, \quad \cot\alpha\pm\cot\beta=\pm\frac{\sin (\alpha\pm\beta)}{\sin\alpha\sin\beta},$

$\tan\alpha+\cot\beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\cos\alpha\sin\beta}, \quad \cot\alpha-\tan\beta=\frac{cos (\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cos\beta}.$

[уреди] Производ функција

$\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)],$

$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha+\beta)],$

$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)].$

[уреди] Функције половине угла

$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{1-\cos\alpha}}{2}, \quad \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},$

$\tan\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha},$

$\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}.$

[уреди] Степеновање функција

$\sin^2\alpha=\frac{1}{2}(1-\cos2\alpha), \quad \cos^2\alpha=\frac{1}{2}(1+\cos2\alpha),$

$\sin^3\alpha=\frac{1}{4}(3\sin\alpha-\sin3\alpha), \quad \cos^3\alpha=\frac{1}{4}(\cos3\alpha+3\cos\alpha),$

$\sin^4\alpha=\frac{1}{8}(\cos4\alpha-4\cos2\alpha+3), \quad \cos^4\alpha=\frac{1}{8}(\cos4\alpha+4\cos2\alpha+3).$

За рачунање $\sin^n\alpha\,$ и $\cos^n\alpha\,$ при већем n можете поћи од Моаврове формуле.

[уреди] Синусоиде

Сл.5. Хармонијски талас

У многим проблемима механике и физике разматрају се величине које заврисе од времена t и изражавају се формулом:

$u=a\sin(\omega t +\phi); \qquad (*)$

такве величине називамо синусним, а њихове временске промене - хармонијски талас. Граф функције десно је општа синусоида (Сл.5.), која се од обичне синусоиде ( $y = sin x$ ) разликује по овоме:

њена амплитуда (ширина њихаја), тј. највећи отклон од осе t, је $a$ ;
њен период $T$ (таласна дужина) је $\frac{2\pi}{\omega}$ , где ω називамо фреквенцијом таласа;
њена почетна фаза је угао φ.

Величину (*) можемо представити у облику:

$r=A\sin\omega t + B\sin\omega t, \qquad (**)$

где је $a=\sqrt{A^2+B^2}, \quad \tan\phi=\frac{B}{A};$ величине $A,\; B,\; a,\; \phi$ можемо представити елементима правоуглог троугла (Сл.6.).

[уреди] Сабирање синусоида

Сл.6. Троугао синусоиде

Збир две синусне величине једнаких фреквенција ω такође је синусна величина исте фреквенције:

$A_1 \sin(\omega t+\phi _1)+A_2 \sin(\omega t+\phi _2)=A \sin (\omega t+\phi), \,$

при чему је:

$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2 \cos(\phi _2-\phi _1)},$

$\tan\phi=\frac{A_1\sin\phi_1+A_2\sin\phi_2}{A_1\cos\phi_1+A_2\cos\phi_2}.$

Линеарна комбинација неколико синусних величина с једнаком фреквенцијом је синусна величина исте фреквенције:

$\sum_i {c_i A_i \sin (\omega t+\phi_i)} = A \sin (\omega t+\phi); \,$

$A\,$ и $\phi\,$ је могуће графички представити у векторском дијаграму.

[уреди] Решавање троугла

Због обима теме овде наводимо само формуле. Још неке дефиниције појмова који следе можете потражити у прилогу планиметрија.

[уреди] Правоугли троугао

Странице $a$ и $b$ су катете, $c$ је хипотенуза; $A,\; B$ су угови насупрот страницама $a,\; b$ .

Основни односи: $a=c\sin A =c\cos B, \quad a=b \tan A=b\cot B$

Основни задаци:

Задато је $c,\; A.$ Израчунавамо $B=90^o-A,\; a=c\sin A,\; b=c \cos A.$
Задато је $a,\; c.$ Израчунавамо $B=90^o-A,\; b=a \cot A,\; c=\frac{a}{\sin A}.$
Задато је $a,\; c.$ Израчунавамо $\sin A=\frac{a}{c},\; b=c cos A,\; B=90^o-A.$
Задато је $a,\; b.$ Израчунавамо $\tan A=\frac{a}{b},\; c=\frac{a}{\sin A},\; B=90^o-A.$

[уреди] Косоугли троугао

$a,\; b,\; c$ су странице, $A,\; B,\; C$ су углови насупрот страницама, P је површина, R је полупречник описане кружнице, r је полупречник уписане кружнице, s је полуобим $s=\frac{a+b+c}{2}.$ Полуобим понекад означавамо и са p.

Основне теореме:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \;$ синусна теорема,
$a^2=b^2+c^2-2bc \cos A \;$ косинусна теорема,
$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan\frac{A+B}{2}}{\tan\frac{A-B}{2}} \;$ тангенсна теорема.

Површина троугла:

$P=\frac{ab \sin C}{2}, \quad P=\frac{abc}{4R},$
$P=2R^2 \sin A \sin B \sin C, \quad P=rs,$
$P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\;$ Херонов образац.

Важне дужи троугла:

Висина на страницу $a: \quad h_a=b \sin C =c \sin B.$
Тежишница на страницу $a: \quad t_a=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2+2bc \cos A}.$
Симетрала угла $A: \quad l_A=\frac{2bc \cos\frac{A}{2}}{b+c}.$
Полупречник описане кружнице: $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C}.$
Полупречник уписане кружнице:
- $r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}},$
- $r=s\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2},$
- $r=4R \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}.$

Основни задаци:

1) Задане су страница и два угла $a,\; A,\; B.$ Израчунавамо

$C=180^o-A-B, \quad b=\frac{a\sin B}{\sin A}, \quad c=\frac{a\sin C}{\sin A}, \quad P=\frac{1}{2}ab\sin C.$

2) Две странице и угао међу њима $a,\; b,\; C.$ Израчунавамо

$\tan\frac{A-B}{2}=\frac{a-b}{a+b}\cot\frac{C}{2}, \quad \frac{A+B}{2}=90^o-\frac{1}{2}C,$

затим из $A+B, \; A-B$ налазимо $A,\; B,$ и

$c=\frac{a\sin C}{\sin A}, \quad P=\frac{1}{2}ab\sin C.$

3) Две странице и угао насупрот једнe од њих $a,\; b,\; A.$ Израчунавамо

$\sin B=\frac{b\sin A}{a}.$ Затим, ако је $a \ge b,$ онда је

B < 90 o

и има само једну вредност; ако је

A < B

онда:

1. B има две вредности за $b\sin A<a \; (B_2=180^o-B_1).$
2. B има једну вредност (90°) за $b\sin A=a.\,$
3. Троугао је немогућ за $b\sin A>a.\,$

$C=180^o-(A+B), \quad c=\frac{a\sin C}{\sin A}, \quad P=\frac{1}{2}ab\sin C.$

4) Три странице $a,\; b,\; c.$ Израчунавамо

$r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}},$

$\tan\frac{A}{2}=\frac{r}{s-a}, \quad \tan\frac{B}{2}=\frac{r}{s-b}, \quad \tan\frac{C}{2}=\frac{r}{s-c},$

$P=rs=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$

[уреди] Циклометријске функције (аркус)

Аркус-функцијама од х (инверзним тригонометријским) називамо величине y мерене у радијанима, одређене једначинама:

$y=\arcsin x\,$ (аркус-синус), ако је $x=\sin y,\,$

$y=\arccos x\,$ (аркус-косинус), ако је $x=\cos y,\,$

$y=\arctan x\,$ (аркус-тангенс), ако је $x=\tan y,\,$

$y=\arccot x\,$ (аркус-котангенс), ако је $x=\cot y.\,$

Примери

1) $\arcsin 0 = 0\,$ или $\pi \,$ или $2 \pi \,$ , уопште $\arcsin 0 = k \pi , \,$

2) $\arccos\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}$ или $-\frac{\pi}{3}$ или $\frac{\pi}{3}+2\pi,$ уопште $\arccos\frac{1}{2}=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi,$

3) $\arctan 1 =\frac{\pi}{4}$ или $\frac{5\pi}{4},$ уопште $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}+k\pi.$

Главне вредности

Аркус функције су вишезначне; њихове главне вредности су ограђене. Означавамо их са arc sin x, arc cos x, arc tan x, arc cot x, (последње две, ми често означавамо arc tg x, arc ctg x).

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2},$

$0 \le \arccos x \le + \pi,$

$-\frac{\pi}{2}<\arctan x < +\frac{\pi}{2},$

$0<\arccot x < \pi.\,$

[уреди] Изражавање једних аркус-функција с другима

Следеће формуле тачне су само за главне вредности аркус-функција, а формуле у угластим заградама само за позитивне вредности х (јер су границе главних вредности различито одређене за разне функције).

$\arcsin x=-\arcsin(-x)=\frac{\pi}{2}-\arccos x=[\arccos\sqrt{1-x^2}]=$

$=\arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\left[ \arctan\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right],$

$\arccos x=\pi-\arccos(-x)=\frac{\pi}{2}-\arcsin x=[\arcsin\sqrt{1-x^2}]=$

$=\left[\arctan\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right]=\arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},$

$\arctan x=-\arctan(-x)=\frac{\pi}{2}-\arctan x=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=$

$=\left[\arccos\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right]=\left[\arccot\frac{1}{x}\right],$

$\arccot x=\pi-\arccot(-x)=\frac{\pi}{2}-\arctan x=$

$=\left[\arcsin\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right]=\arccos\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\left[\arctan\frac{1}{x}\right].$

[уреди] Основни односи

Уведимо ознаку $f(\pm)=\arcsin(x\sqrt{1-y^2}\pm y\sqrt{1-x^2}),$ где "+", односно "-" иду у пару. Тада је:

$\arcsin x+\arcsin y=f(+), \quad [xy\le 0 \vee x^2+y^2\le 1]$

$=\pi-f(+), \quad [x>0, y>0, x^2+y^2>1]$

$=-\pi-f(+), \quad [x<0, y<0, x^2+y^2>1],$

$\arcsin x-\arcsin y=f(-), \quad [xy \ge 0 \vee x^2+y^2 \le 1]$

$=\pi-f(-), \quad [x>0,y<0, x^2+y^2 >1] \,$

$=-\pi-f(-), \quad [x<0, y>0, x^2+y^2>1].$

Означимо са $g(\pm)=\arccos(xy\pm\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}),$ где "+", односно "-" иду у пару. Тада је:

$\arccos x+\arccos y=g(-), \quad [x+y\ge 0]$

$=2\pi-g(-), \quad [x+y<0],$

$\arccos x-\arccos y=-g(+), \quad [x \ge y]$

$=g(+), \quad [x<y].$

Уведимо ознаке $h(\pm)=\arctan\frac{x\pm y}{1\mp xy},$ где горњи знак "+" или "-" иде са горњима. Тада важи:

$\arctan x+\arctan y=h(+), \quad [xy<1]$

$=\pi+h(+), \quad [x>0, xy>1]$

$=-\pi+h(+), \quad [x<0, xy>1],$

$\arctan x-\arctan y=h(-), \quad [xy>-1]$

$=\pi+h(-), \quad [x>0, xy<-1]$

$=-\pi+h(-), \quad [x<0, xy<-1].$

Уведимо ознаку $u=\arcsin(2x\sqrt{1-x^2}).$ Важе следеће једнакости:

x| \le \frac{1}{\sqrt{2}} \right]" />

$=\pi-u, \quad \left[ \frac{1}{\sqrt{2}}<x \le 1 \right]$

$=-\pi-u, \quad \left[ -1 \le x < -\frac{1}{\sqrt{2}} \right].$

$2\arccos x=\arccos(2x^2-1), \quad [0 \le x \le 1]$

$=2\pi-\arccos(2x^2-1), \quad [-1 \le x <0].$

Уводимо смену $t=\arctan\frac{2x}{1-x^2},$ па важе једнакости:

x|<1 ]" />

$=\pi +t, \quad [x>1]$

$=-\pi+t, \quad [x<-1].$

Коначно, $\cos(n\arccos x)=2^{n-1}T_n(x),\; (n \ge 1),$

при чему $n \,$ не мора бити цео број; $T_n(x) \,$ се одређује једначином:

$T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}{2^n}.$

Ако је $n \,$ цео број, $T_n(x) \,$ је полином од х (полином Чебишева).

Добављено из "http://sr.wikipedia.org../../../%D1%80/%D0%B0/%D0%B2/%D0%A0%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B8%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B0.html"

Категорије страница: Математика · Тригонометрија · Геометрија

Равнинска тригонометрија

Из пројекта Википедија

Садржај

[уреди] Тригонометријске функције

[уреди] Правоугли троугао

[уреди] Основни углови

[уреди] Тригонометријска кружница

[уреди] Мерење угла

[уреди] Основне тригонометријске формуле

[уреди] Функције једног угла

[уреди] Међусобно изражавање функција

[уреди] Функције збира и разлике

[уреди] Функције вишекратног угла

[уреди] Збир и разлика функција

[уреди] Производ функција

[уреди] Функције половине угла

[уреди] Степеновање функција

[уреди] Синусоиде

[уреди] Сабирање синусоида

[уреди] Решавање троугла

[уреди] Правоугли троугао

[уреди] Косоугли троугао

[уреди] Циклометријске функције (аркус)

[уреди] Изражавање једних аркус-функција с другима

[уреди] Основни односи

Views

навигација

Претрага