Хиперболичка тригонометрија

Из пројекта Википедија

Хиперболичка тригонометрија има своју улогу у геометрији Лобачевског. Користи се за проучавање отпорности материјала, у електротехници, статичким прорачунима висећих мостова у грађевинарству и другим гранама науке. У математици се хиперболичке функције користе, на пример, за решавање интеграла где се појављује $1 + x 2,$ за разлику од облика $1 - x 2,$ где се користи обична, тј. равнинска тригонометрија.

[уреди] Хиперболичке функције

Хиперболичке функције је увео у употребу италијански математичар Вићенцо Рикати (Vincenzo Riccati, 1707-1775). Он је користио ознаке Sh. и Ch. за хиперболни синус и косинус. Теорију је даље развио Ламберт (Johann Heinrich Lambert, 1728-1777. Histoire de l'académie Royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, том. XXIV, стр. 327 (1768)), негде око 1771, употребљавајући sinh и cosh. Код нас се за хиперболне функције користе ознаке sh x, ch x, th x, cth x, sech x, cosech x, али овде следимо скраћенице које подржава Википедијин софтвер, тј. Латех, а то су уобичајене англосаксонске ознаке.

[уреди] Дефиниција хиперболичких функција

Синус хиперболички, косинус хиперболички и тангенс хиперболички одређени су формулама:

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},$

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},$

$\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.$

Сл.1. Граф синуса хиперболичног (плаве боје, доњи), и косинус (црвен, изнад)

Сл.2. Граф тангенса хиперболичног (плав)

Сл.3. Граф котангенса хиперболичног (црвен)

Котангенс хиперболички, секанс хиперболички и косеканс хиперболички су реципрочне вредности:

$\coth x=\frac{1}{\tan x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}},$

$sech x=\frac{1}{\cos x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}},$

$csch x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}.$

Сл.4. Граф секанса хиперболичног (црвен)

Сл.5. Граф косеканса хиперболичног (плав)

Геометријско одређивање хиперболичних функција аналогно је одређивању тригонометријских функција синус, косинус, тангенс (в. равнинска тригонометрија).

[уреди] Геометријско одређивање

У тригонометријском кругу дефинисане су функције $\sin x,\; \cos x,\; \tan x$ као одсечци BC, OB, AD (полупречник r=1), а угао α је централни угао AOC. Исти угао смо могли дефинисати и као површину P_k двоструког кружног исечка COK (сл.6. шрафирано).

Сл.6. Тригонометријска кружница

Сл.7. Тригонометријска хипербола

Наиме, када је угао AOC, тј. α у радијанима, тада двоструки централни исечак COK има површину $P_k=\frac{1}{2}r^2\cdot 2\alpha=\alpha.$ Узимајући аналогну функцију површине, али не за кружницу $x 2 + y 2 = 1,$ него за истострану хиперболу $x 2 - y 2 = 1,$ и означавајући са $P h = x$ површину аналогног сектора COK (шрафиранo на сл.7.), дефинишемо хиперболне функције: sh x = BC, ch x = OB, th x = AB, односно истим редом sinh x, cosh x, tanh x, тј. синус, косинус и тангенс хиперболни.

Када површину х израчунамо (в. одређени интеграл) добијамо изразе за BC, OB, AD:

$x=\ln(BC+\sqrt{BC^2+1})=\ln(OB+\sqrt{OB^2-1})=\frac{1}{2}\ln\frac{1+AD}{1-AD},$

дакле за хиперболне функције добијамо претходно наведене изразе у експоненцијалном облику:

$BC=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x,$

$OB=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x,$

$AD=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\tanh x.$

[уреди] Тригонометријске везе

$\sin z=-i\sinh z, \quad \sinh z=-i\sin iz,$

$\cos z=i\cosh z, \quad \cosh z=i\cos iz,$

$\tan z=-i\tanh z, \quad \tanh z=-i\tan iz,$

$\cot z=i\sinh z, \quad \coth z=i\cot iz.$

Свака формула која повезује хиперболичку функције аргумента х или ах, али не ax+b, може се добити из одговарајуће формуле која повезује обичне тригонометријске функције угла z заменом $\sin z\,$ са $i \sinh x\,$ и заменом $\cos z\,$ са $\cosh x.\,$ На пример:

$\cos^2z+\sin^2z=1\,$ прелази у $\cosh^2x-\sinh^2x=1,\,$

$\sin 2z=2\sin y\cos z,\,$ прелази у $\sinh 2x=2\sinh x\cosh x.\,$

[уреди] Основне формуле

За хиперболне функције вреде формуле аналогне формулама за функције обичне тригонометрије.

[уреди] Функције једног аргумента

$\cosh^2x-\sinh^2x=1, \quad sech^2x+\tanh^2x=1,$

$\coth^2x-csch^2x=1, \quad \tanh x\cdot\coth x=1,$

$\frac{\sinh x}{\cosh x}=\tanh x, \quad \frac{\cosh x}{\sinh x}=\coth x.$

[уреди] Међусобно изражавање

$\sinh x=\sqrt{\cosh^2x-1}=\frac{\tanh x}{\sqrt{1-\tan^2x}}=\frac{1}{\sqrt{\coth^2x-1}},$

$\cosh x=\sqrt{\sinh^2x+1}=\frac{1}{\sqrt{1-\tanh^2x}}=\frac{\coth x}{\sqrt{\cot^2x-1}},$

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\sqrt{\sinh^2x+1}}=\frac{\sqrt{\cosh^2x-1}}{\cosh x}=\frac{1}{\coth x},$

$\coth x=\frac{\sqrt{\sinh^2x+1}}{\sinh x}=\frac{\cosh x}{\sqrt{\cosh^2x-1}}=\frac{1}{\tanh x}.$

[уреди] Збир и разлика аргумената

$\sinh(x\pm y)=\sinh x\cosh y\pm\cosh x\sinh y,$

$\cosh(x\pm y)=\cosh x\cosh y\pm\sinh x\sinh y,$

$\tanh(x\pm y)=\frac{\tanh x\pm\tanh y}{1\pm\tanh x\tanh y}, \quad \coth(x\pm y)=\frac{1\pm \coth x\coth y}{\coth x\pm\coth y}.$

[уреди] Функције двоструког аргумента

$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x, \quad \cosh 2x=\sinh^2x+\cosh^2x,$

$\tanh 2x=\frac{2\tanh x}{1+\tanh^2x}, \quad \coth 2x=\frac{1+\coth^2x}{2\coth x}.$

[уреди] Моаврова хиперболичка формула

$(\cosh x\pm\sinh x)^n=\cosh nx\pm\sinh nx$

[уреди] Функције половине аргумента

$\sinh\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{\cosh x-1}{2}},$ + за x>0, - за x<0,

$\cosh\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{\cosh x+1}{2}},$

$\tanh\frac{x}{2}=\frac{\cosh x-1}{\sinh x}=\frac{\sinh x}{\cosh x+1}, \quad \coth\frac{x}{2}=\frac{\sinh x}{\cosh x-1}=\frac{\cosh x+1}{\sinh x}.$

[уреди] Збир и разлика функција

$\sinh x\pm\sinh y=2\sinh\frac{x\pm y}{2}\cosh\frac{x\mp y}{2},$

$\cosh x+\cosh y=2\cosh\frac{x+y}{2}\cosh\frac{x-y}{2},$

$\cosh x-\cosh y=2\sinh\frac{x+y}{2}\sinh\frac{x-y}{2},$

$\tanh x\pm\tanh y=\frac{\sinh(x\pm y)}{\cosh x\cosh y}.$

[уреди] Инверзне (Aреа) функције

Називи ареа-синус, ареа-косинус, ареа-тангенс и ареа-котангенс потичу од речи ареа (површина) јер ареа-функције можемо представити површином хиперболичког сектора. Оне су инверзне функцијама синус хиперболни, косинус хиперболни, тангенс хиперболни и котангенс хиперболни, тј. ако је $y=\sinh x\,$ тада је $x=Ar\sinh y,\,$ итд: