Тригонометрија

Из пројекта Википедија

Тригонометрија (лат. trigonon - троугао, metron - мера) је део математике који изучава зависност између страна и углова троугла (тригонометрија у ужем смислу), а такође и особине тригонометријских функција и везу међу њима (гониометрија).

[уреди] Подела

Тригонометрија се дели на следеће три области:

1. Равнинска тригонометрија, тригонометрија у ужем смислу; проучава
   • Тригонометријске функције, посебно:
     • синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс;
   • Инверзне тригонометријске функције, тзв. циклометријске, или аркус-функције:
2. Сферна тригонометрија, на површи сфере;
3. Хиперболичка тригонометрија, тригонометрија Лобачевског;
   • Хиперболичке функције:
     • синус хиперболички, косинус хиперболички, тангенс хиперболички, котангенс хиперболички, секанс хиперболички и косеканс хиперболички;
   • Инверзне хиперболичке функције, тзв. ареа-функције.

Основна линија развоја тригонометрија била је примена у геометријским истраживањима. Развој прве и друге од набројаних тригонометрија ишао је уз Еуклидску раван, тј. елементарна геометрија и површину сфере, а трећа од тригонометрија је бар у почетку (XIX век) била везана за открића нееуклидских геометрија, (геометрија Лобачевског, затим Риманова геометрија).

Примене тригонометрија данас су далеко шире.

[уреди] Порекло

Први корени тригонометрије су нађени у записима из Египта и Месопотамије. Тамо је нађена вавилонска камена плоча (око 1900-1600. п.н.е.) која садржи проблеме са релацијама које одговарају савременом sec². Египатски папирус Ринд (око 1650. п.н.е.) садржи проблеме са односима страница троугла примењеним на пирамиде. Нити Египћани, нити Вавилонци нису имали наше схватање мере угла, а релације тог типа су сматрали особинама троуглова, пре него самих углова.

Важан напредак направљен је у Грчкој у време Хипократа из Киоса (Елементи, око 430. п.н.е.), који је проучавао односе између централних углова кружнице и тетива. Хипархус је 140. п.н.е. направио таблицу тетива (прву претечу савремених синусних таблица). Менелај из Александрије (Сферна геометрија, око 100. нове ере) је први користио сферне троуглове и сферну тригонометрију. Птоломеј (Алмагест, око 100. н.е.) је направио таблицу тетива углова између 0,5° и 180° са интервалом од пола степена. Он је такође истраживао тригонометријске идентитете.

Грчку тригонометрију су даље развијали Хинду математичари који су остварили напредак размештањем тетива преузетих од Грка на полу тетиве круга са датим радијусом, тј. еквивалентом нашој синусној функцији. Прве такве таблице биле су у Сидхантасу (систем за астрономију) у IV и V веку ове ере. Попут бројева, модерна тригонометрија нам долази од Хинду математичара преко Арапских математичара. Преводи са арапског на латински језик током XII века увели су тригонометрију у Европу.

Особа одговорна за "модерну" тригонометрију био је ренесансни математичар Региомонтанус. Од доба Хипарха, тригонометрија је била једноставно алат за астрономска израчунавања. Региомонтанус (De triangulis omni modis, 1464; публиковано 1533.) био је први који је тригонометрију третирао као субјект по себи. Даљи напредак су направили Никола Коперник у De revolutionibus orbium coelestium (1543.) и његов ученик Ретикус. У Opus palatinum de trianulis (комплетирао његов ученик 1596.), Ретикус је установио употребу шест основних тригонометријских функција, правећи таблице њихових вредности, и држећи се идеје да те функције представљају односе страница у правоуглом троуглу (рађе него традиционалне полу-тетиве кругова).

Модерна аналитичка геометрија датира од времена Франсоиса Виетеа, који је урадио таблице шест функција до најближе минуте (1579). Виете је такође извео формулу за производ, тангенсну формулу и формуле за више углова. Крајем XV века је први пут употребљен назив "тригонометрија".