Vektorový součin

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Vektorový součin je v matematice označení binární operace mezi dvěma vektory v trojrozměrném vektorovém prostoru. Výsledkem této operace je vektor (na rozdíl od součinu skalárního, jehož výsledkem je při součinu dvou vektorů skalár). Výsledný vektor je kolmý k oběma původním vektorům.

[editovat] Značení

Vektorový součin vektorů $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ se obvykle značí jedním z následujících způsobů:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$
$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$ - používáno ve frankofonních zemích
$[\mathbf{a}\mathbf{b}]$ - používáno v Rusku
$[\mathbf{a},\mathbf{b}]$

[editovat] Definice

Vektorový součin vektorů a a b je definován jako vektor kolmý k vektorům a a b s velikostí rovnou ploše kosoúhelníku, který oba vektory definují:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \sin \theta$

kde θ je úhel svíraný vektory a a b (0° ≤ θ ≤ 180°) a n je jednotkový vektor kolmý k nim. Takové jednotkové vektory však existují dva; volba závisí na tom, je-li souřadný systém definován jako pravotočivý nebo levotočivý. V pravotočivém souřadném systému lze použít pravidlo pravé ruky: jsou-li vektory a a b znázorněny ukazovákem a prostředníkem pravé ruky, pak vektorový součin a × b má směr palce.

Vektorový součin

Vektorový součin lze definovat také bez pomoci úhlu, který oba vektory svírají. Máme-li vektorový součin $\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$ , pak složky vektoru c lze určit jako

c 1 = a 2 b 3 - a 3 b 2

c 2 = a 3 b 1 - a 1 b 3

c 3 = a 1 b 2 - a 2 b 1

Pomocí Levi-Civitova symbolu je možné složky vektorového součinu zapsat jako

$c_i = \varepsilon_{ijk} a_j b_k$

Složky vektorového součinu lze také chápat jako prvky antisymetrického tenzoru druhého řádu

d i j = a i b j - a j b i

Počet nezávislých složek takovéhoto antisymetrického tenzoru je roven třem pouze ve třírozměrném prostoru, proto lze provést přiřazení

d 23 = - d 32 = c 1 = a 2 b 3 - a 3 b 2

d 31 = - d 13 = c 2 = a 3 b 1 - a 1 b 3

d 12 = - d 21 = c 3 = a 1 b 2 - a 2 b 1

d 11 = d 22 = d 33 = 0

Tento tenzorový zápis umožňuje použití vektorového součinu i v prostorech s dimenzí různou od 3.

[editovat] Vlastnosti

Vektorový součin je antikomutativní, tzn.

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = - \mathbf{v} \times \mathbf{u}$

Vynásobením vektorového součinu číslem a dostaneme

$a (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = (a \mathbf{u}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times (a \mathbf{v})$

Platí také distributivní zákon

$\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$

Je-li pro dva nenulové vektory $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ jejich vektorový součin nulový, tzn. $\mathbf{u} \times \mathbf{B} = \mathbf{0}$ , pak jsou vektory $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ rovnoběžné.

Vyjádříme-li bázi třírozměrného vektorového prostoru pomocí jednotkových vektorů ortogonální báze i, j, k, pak

$\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$

$\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$

$\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$

V uvedené bázi lze vektorový součin vektorů u, v zapsat pomocí determinantu jako

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$

[editovat] Výpočet

Souřadnice vektorového součinu dvou vektorů lze vypočítat bez stanovování úhlu, který vektory svírají: Nechť

a = [a₁, a₂, a₃]

b = [b₁, b₂, b₃].

Potom

a × b = [a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁].

[editovat] Použití

Vektorový součin je hojně využíván v elektromagnetismu, např. pro výpočet Lorentzovy síly. Dalším příkladem je moment síly $\mathbf{M}$ , který je definován $\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ kde $\mathbf{r}$ je polohový vektor působiště síly.