Matematik
Wikipedia
Matematik (av grekiska máthema, "vetenskap") kan definieras som läran om storheter, strukturer och mönster. Matematiken består av metoder för att beskriva och analysera abstrakta samband, samt kunskap i form av redan härledda resultat. Viktiga områden är talteori, algebra, analys, geometri, topologi, mängdteori och statistik, bland många andra.
Matematiken är helt abstrakt och skiljer sig på så sätt från naturvetenskap. Då den inte är empirisk prövbar, utan bygger på axiom, är den i egentlig mening inte heller att betrakta som en vetenskap. Dock används den inom flera vetenskaper - huvudsakligen, men inte enbart, naturvetenskapliga sådana - som ett verktyg för att formulera och lösa problem. Matematikens roll är särskilt framträdande inom fysiken, vars lagar formuleras matematiskt, och vars framsteg ofta varit intimt sammandbundna med framsteg inom matematiken, då tidiga fysiker ofta var lika mycket matematiker som utvecklade de matematiska redskap de behövde för att lösa olika problem. En stor del av den matematiska forskningen sker dock utan tanke på tillämpningar, och det kan ta årtionden innan nya upptäckter kommer till praktisk nytta. Matematiker är många gånger intresserade av ämnet som sådant, såväl för intellektuell stimulans som för att de upplever det som estetiskt tilltalande.
Innehåll |
[redigera] Historik
Huvudartikel: Matematikens historia
Matematikens historia sträcker sig från förhistorisk tid till nutid. Den innefattar – utöver ett kontinuerligt ansamlande av matematisk kunskap – utveckling av arbetsmetoder och upptäckter av nya tillämpningsområden, och är tätt sammanvävd med naturvetenskapens, teknikens och filosofins historia.
Från sitt ursprung i den grundläggande räknekonsten har den matematiska kunskapen och metodiken utvecklats under loppet av årtusenden. Framstående matematiska kulturer fanns bland annat under antiken i Babylonien och Grekland, och under medeltiden i mellanöstern. Utvecklingen kom dock att explodera i det eftermedeltida Europa, väsentligen i samband med den vetenskapliga revolutionen, och i dag bedrivs mer matematisk forskning än någonsin tidigare.
[redigera] Egenskaper och metodik
Matematiker studerar tal, geometriska figurer, och många andra abstrakta föremål som kan vara mer eller mindre svåra att få en intuitiv uppfattning om. Målet är i allmänhet att försöka upptäcka mönster och sammanhang. Mönstren sammanfattas i form av regler som, förutom att ge en förståelse av de objekt som studeras, kan användas för att lösa nya problem. För att reglerna ska vinna erkännande krävs det också av matematikerna att de genom rigoröst logiskt resonemang bevisar att reglerna verkligen stämmer.
[redigera] Matematiskt språk och abstraktion
För att beskriva abstrakta begrepp använder matematiker speciella symboler och konventioner. Den matematiska notationen låter matematiker uttrycka ideer på ett koncist och exakt sätt.
Matematikerna har under århundradena utvecklat ett språk för att uttrycka sina resultat och kommunicera med varandra. Det matematiska språket är nödvändigt, eftersom naturliga språk sällan är exakt nog. Detta har lett till att även vanliga ord som "om" och "öppen" har en väldigt specifik betydelse inom matematiken.
[redigera] Bevisföring
- Huvudartikel: Bevis
Matematiken är objektiv och exakt, eftersom den bygger på logik och är oberoende av den fysiska världen. Oavsett hur starkt stöd utförda observationer ger en naturvetenskaplig teori är det i princip möjligt att nästa observation omkullkastar den, men ett matematiskt resultat är otvivelaktigt och evigt sant då det en gång bevisats.
Matematiska resultat utgörs av satser (eller teorem), antaganden som har bevisats objektivt. Ett matematiskt bevis består av ett antal steg som följer logiska inferensregler. Eftersom varje steg bara kan härleda en sanning från en annan, krävs grundläggande, uppenbara sanningar som alla andra resultat kan falla tillbaka på. Dessa sanningar kallas axiom. Det visar sig att nästan alla kända matematiska resultat kan härledas från endast en handfull axiom, de mängdteoretiska axiomen.
I praktiken följer matematiker ofta sin intuition eller experimenterar sig fram då de angriper nya problem, men det är av yttersta vikt att resultaten kan bevisas formellt, då det finns många exempel på "intuitivt sanna" antaganden från matematikens historia som visat sig vara felaktiga vid grundligare undersökning. Strävan att undanröja möjligheten till sådana fel var en bidragande orsak till utvecklingen av den matematiska formalismen som konsoliderades i början av 1900-talet.
[redigera] Estetik
Matematiker använder ibland ordet "vackert" för att beskriva till exempel ett bevis eller ett samband. Till skillnad från de flesta andra uttryck inom matematiken är det svårt att specifiera exakt vad som menas med detta, men det kan till exempel innebära att flera olika områden som till en början kan tyckas åtskilda binds samman, en metod som lätt går att använda på många olika problem, eller ett bevis som drar långtgående slutsatser från ett fåtal förutsättningar. Typexemplet på ett vackert uttryck är följande
som kopplar samman Eulers konstant e, som är viktigt inom analys, imaginära enheten i från komplex analys, π från geometrin samt 1 som är grunden för de naturliga talen och 0.
[redigera] Matematikens filosofi
Huvudartikel: Matematikfilosofi
Precis vad matematik är, och hur matematiska sanningar relaterar till den fysiska världen och det mänskliga sinnet, är omtvistade frågor som studeras inom matematikfilosofin. Ett vanligt perspektiv är platonismen eller realismen, som hävdar att alla matematiska objekt existerar i en parallell idévärld. Matematiken ses som utforskandet av den världen, matematiska resultat som upptäckter. Andra menar att matematiken delvis eller helt och hållet är konstruerad av människor. Den tyske matematikern Leopold Kronecker (1823-1891) anmärkte att "Gud skapade heltalen. Allt annat är människans verk".
Den dominerande uppfattningen bland moderna matematiker är den formalistiska, dvs matematik ses som härledningen av teorem i något inferenssystem, utifrån några axiom. Axiomen och inferensreglerna ses inte som naturlagar, utan. Frågan är varför vissa axiom ger sanningar som verkar stämma med den fysiska världen. Formalismen säger ingenting om de matematiska objektens verklighet. Däremot löser den problem, till exempel satser som inte kan avgöras.
Bland andra Eugene Wigner påpekar matematikens "orimliga effektivitet" inom naturvetenskap.
Många matematiker betraktar delvis ämnet som konst.
[redigera] Ämnen inom matematik
[redigera] Kvantitet
Tal -- Naturliga tal -- Heltal -- Rationella tal -- Reella tal -- Komplexa tal -- Hyperkomplexa tal -- Kvaternioner -- Oktonioner -- Sedenioner -- Hyperreella tal -- Surreella tal -- Ordinaltal -- Kardinaltal -- p-adiska tal -- Heltalssekvenser -- Matematiska konstanter -- Talnamn -- Oändligheten
[redigera] Förändring
Aritmetik -- Analys -- Vektoranalys -- Komplex analys -- Differentialekvationer -- Lista över funktioner
[redigera] Struktur
Abstrakt algebra -- Talteori -- Algebraisk geometri -- Gruppteori -- Monoider -- Analys -- Topologi -- Linjär algebra -- Grafteori -- Universell algebra
[redigera] Rymd
Topologi -- Geometri -- Trigonometri -- Algebraisk geometri -- Differentialgeometri -- Differentialtopologi -- Algebraisk topologi -- Linjär algebra -- Fraktalgeometri
[redigera] Diskret matematik
Kombinatorik -- Mängdteori -- Sannolikhet -- Beräkningsteori -- Kryptografi -- Grafteori -- Spelteori
[redigera] Tillämpad matematik
Mekanik -- Numerisk analys -- Optimering -- Sannolikhetslära -- Statistik -- Finansiell matematik
[redigera] Berömda satser och hypoteser
Fermats stora sats -- Riemannhypotesen -- Kontinuumhypotesen -- Goldbachs förmodan -- Tvillingprimtal -- Gödels ofullständighetssatser -- Poincarés förmodan -- Pythagoras sats -- Centrala gränsvärdessatsen -- Algebrans fundamentalsats -- Aritmetikens fundamentalsats -- Fyrfärgssatsen -- Zorns lemma
[redigera] Matematikens grunder och metoder
Matematikfilosofi -- Intuitionism -- Konstruktivism -- Matematikens grunder -- Mängdteori -- Modellteori -- Bevis -- Logik -- Matematisk logik -- Tabell över matematiska symboler
[redigera] Grenar inom matematiken
- Algebra
- Matematisk analys
- Aritmetik
- Diskret matematik
- Geometri
- Linjär algebra
- Matematisk statistik
- Mängdteori
- Talteori
- Topologi
[redigera] Se även
[redigera] Källor
- Saint Andrews Universitet - An overview of the history of mathematics
- Christer Kiselman - Vad är matematik?
- Att forska i matematik
