Algebrans fundamentalsats
Wikipedia
Algebrans fundamentalsats kan uttryckas som:
Ett polynom 
av graden n > 0 med komplexa koefficienter 
har minst en komplex rot.
Ett annat sätt att uttrycka detta är: Varje algebraisk ekvation med komplexa koefficienter av graden n, där n är större än 1, har precis n komplexa nollställen, räknade med multiplicitet (det vill säga, några rötter kan vara lika). Detta kan tyckas vara ett betydligt starkare resultat, men kan i själva verket lätt visas vara ekvivalent med det första påståendet.
Observera att det anges att koefficienterna är komplexa tal, men det innefattar även de reella talen, eftersom dessa är komplexa tal med en imaginärdel som är noll.
[redigera] Exempel
har alltid två rötter. Dessa är
Om uttrycket under rottecknet är
- större än noll, är rötterna olika och reella
- mindre än noll, är rötterna olika och icke-reella
- lika med noll, är rötterna lika och reella
[redigera] Bevis
Där 
. Nu ser vi att 
då 
.
Antag att P(z) saknar nollställen. Då är funktionen 
en hel analytisk funktion. Eftersom den har gränsvärdet 0 då absolutbeloppet av z går mot oändligheten är den begränsad i hela komplexa talplanet. Enligt Liouvilles sats är därför konstant. Men då är även P(z) konstant, vilket är en motsägelse då n > 0. Följaktligen har P(z) minst ett komplext nollställe.
