Kardinaltal

Wikipedia

Kardinaltal är ett begrepp inom mängdteorin, och betecknar antalet element i en mängd. Ibland skriver man lodstreck kring mängden för att beteckna antalet element (=kardinaliteten). |M| är alltså antalet element i M.

När man i mängdteorin definierar alla naturliga tal enligt mönstret 0 = ø och n = {0, 1, 2, ... , n-1} så får varje naturligt tal sig själv som kardinaltal. Exempelvis är |14|=14 eftersom 14 innehåller 14 element.

Varje naturligt tal är alltså ett ändligt kardinaltal. Det finns också oändliga kardinaltal. Ett exempel på oändligt kardinaltal är Alef-0 som är antalet element i mängden av alla naturliga tal. Om denna mängd skrivs N har vi alltså att |N| = Alef-0. Antalet heltal och rationella tal är lika många som antalet naturliga tal så även dessa mängder har kardinaltalet Alef-0. Alef-0 är det minsta oändliga kardinaltalet. Det går inte att bilda en mängd med oändligt många element men färre element än N.

Observera att en delmängd av en oändlig mängd kan ha samma kardinaltal som den ursprungliga mängden. T.ex. har mängden av alla udda tal samma kardinaltal som mängden av heltal (Alef-0 i båda fallen).

Det finns ingen gräns för hur stora kardinaltal vi kan bilda (se Cantors sats). Exempel: Mängden R av alla reella tal har kardinaltalet 2^Alef-0 som är större än Alef-0 (se även kontinuumhypotesen).

Alla kardinaltal som är mindre än eller lika med Alef-0 kallas uppräkneliga (detta inkluderar naturligtvis alla ändliga). Kardinaltal som är större än Alef-0 kallas ouppräkneliga.

Varje kardinaltal α har en entydig efterföljare som är det minsta kardinaltal som är större än α. Efter Alef-0 kommer nämligen Alef-1. Sedan följer i tur och ordning Alef-2, Alef-3, Alef-4, .... Det minsta kardinaltal som är större än alla kardinaltal på formen Alef-i där i är ett naturligt tal, är Alef-(Alef-0), som dock oftare skrivs Alef-omega. Sedan följer Alef-(omega+1), Alef-(omega+2) etc. Närmare bestämt så finns ett kardinaltal Alef-(alfa) för varje Ordinaltal alfa. Det finns därmed ingen gräns på hur stora kardinaltal man kan bilda. Detta förklaras av Cantors sats.

Kardinaltalen har en aritmetik, som till vissa delar är trivial men vars potensoperation är ett aktivt och omfattande forskningsfält. Närmare bestämt så gäller för två kardinaltal a och b att:

a + b = ab = max(a,b)

a^b > b om a > 1

a > b och c > 1 medför

Om vi introducerar begreppet kofinalitet för ett kardinaltal som följer:

cf a = det minsta kardinaltal k så att a är unionen av k st delmängder, alla vars kardinalitet är mindre än a.

så kan vi ge ytterligare en lag:

cf 2^a > a.

Man kan visa att för reguljära kardinaltal, dvs de som satisfierar cf a=a, är dessa lagar allt som går att visa rörande kardinaltalsaritmetik. För de singuljära kardinaltal vars kofinalitet är överuppräknelig är det känt att deras artimetik väsentligen styrs av de på de reguljära kardinaltalen. Singuljära kardinaltal med uppräknelig kofinalitet är ännu inte välförstådda, men studeras bl.a i Saharon Shelahs PCF-teori. Ett exempel på ett resultat från denna är:

Om 2^alef-k < alef-omega för alla naturliga tal k, så gäller 2^alef-omega < alef-(omega-4).

Se även:

• Stora kardinaltal
• Ouppnåeliga kardinaltal
• Ordinaltal

Länkar:

• www.ii.com/math/cardinals