Pythagoras sats

Wikipedia

Pythagoras sats

a²+b²=c²

Pythagoras sats är förmodligen matematikens mest berömda och kända sats, formulerad av den grekiske matematikern Pythagoras (även om egyptierna lär ha känt till satsen långt innan Pythagoras föddes). Satsen säger att kvadraten på hypotenusan i en rätvinklig triangel är lika med summan av kvadraterna på kateterna.

I en egyptisk triangel är proportionerna mellan sidorna 3:4:5, vilket ger en rätvinklig triangel (emedan omvändningen till Pythagoras' sats också gäller):

3² + 4² = 5²

Andra pythagoreiska tal (heltalslösningar till Pythagoras sats) är 5:12:13, 8:15:17, 7:24:25 samt multipler av dessa såsom 6:8:10. Det finns oändligt många pythagoreiska tal.

[redigera] Bevis

Kvadrat med en mindre kvadrat inskriven

Här följer ett av många klassiska bevis.

Betrakta en kvadrat med en mindre kvadrat inskriven, så att fyra trianglar bildas, enligt figur. Den lilla kvadraten har sidan $c$ och arean $c 2$ . Den stora kvadraten har sidan $a + b$ och arean $(a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2$ . De fyra trianglarna har var och en arean $a b / 2$ .

Eftersom den stora kvadraten tar upp samma area som den lilla kvadraten och de fyra trianglarna tillsammans gäller:

a 2 + 2 a b + b 2 = c 2 + 4 a b / 2

Vilket kan förenklas till:

a 2 + b 2 = c 2

[redigera] Generaliseringar

Pythagoras sats är giltig på många nivåer. Om u och v är två ortogonala vektorer i ett inre produktrum, d v s att $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=0$ så gäller att:

$\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2$

Ett bevis för detta följer: Genom att utnyttja att normen för en vektor i kvadrat är vektorn multiplicerad med sig själv kan vänsterledet skrivas:

$\langle\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{u}+\mathbf{v}\rangle$

Utnyttjar man nu räknereglerna för inre produkter får man:

$\langle\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{u}+\mathbf{v}\rangle = \langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle+\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle+\langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle+\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle$