Funkcje parzyste i nieparzyste

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Funkcje matematyczne

dziedzina

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:

wymierna - niewymierna
wielomian
stała - liniowa - kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:

trygonometryczne - cyklometryczne
hiperboliczne - area
wykładnicza - logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu Γ Β (beta) η W Lamberta Bessela ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa φ π λ

Własności

przebieg zmienności - parzystość - monotoniczność - ograniczoność - okresowość - różnowartościowość - suriektywność - wzajemna jednoznaczność - ciągłość

Funkcje parzyste i nieparzyste – dwie specjalne klasy funkcji, zachowujące symetrię względem znaku argumentu. Mianowicie:

funkcja parzysta: funkcja spełniająca równanie $f ( - x) = f (x)$ ;
funkcja nieparzysta: funkcja spełniająca równanie $f ( - x) = - f (x)$ .

Własność nie bycia funkcją parzystą nie jest równaznaczna własności bycia funkcją nieparzystą i odwrotnie!

Zwykle pojęcia te stosuje się, gdy dziedziną funkcji jest podzbiór zbioru liczb rzeczywistych (choć nic definicje mają sens w dziedzinach, dla których możemy określić operację elementu przeciwnego, np. liczby zespolone).

Dziedzina funkcji parzystych i nieparzystych jest symetryczna. Innymi słowy, jeżeli $x$ należy do dziedziny, to $- x$ również.

Spis treści

1 Wykresy
2 Przykłady
- 2.1 Funkcje parzyste
- 2.2 Funkcje nieparzyste
3 Własności
4 Zobacz też

[edytuj] Wykresy

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi $O Y$ , a nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Jeśli $0$ należy do dziedziny nieparzystej funkcji $f$ , to $f (0) = 0$ (wykres funkcji przechodzi przez środek układu współrzędnych).

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Funkcje parzyste

wartość bezwzględna $\mathbb R \ni x\mapsto|x| \in \mathbb R$
funkcja potęgowa o parzystym wykładniku, $\mathbb R \ni x\mapsto x^{2k} \in \mathbb R,\;k\in \mathbb N$
funkcja trygonometryczna $cos$
funkcja hiperboliczna $cosh$
wielomiany zawierające niezerowe współczynniki tylko przy parzystych potęgach zmiennej (np. $f (x) = x 10 + 2 x 6 - x 2 + 4$ ).

[edytuj] Funkcje nieparzyste

funkcja liniowa której wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych
funkcja potęgowa o nieparzystym wykładniku
funkcje $\sin, \operatorname{tg}, \sinh, \operatorname{tgh}$
wielomiany zawierające niezerowe współczynniki tylko przy nieparzystych potęgach zmiennej

[edytuj] Własności

Funkcje parzyste (poza szczególnymi przypadkami funkcji pustej oraz funkcji określonej jedynie w zerze) nigdy nie są różnowartościowe.
Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. niestała funkcja wykładnicza.
Jedynymi funkcjami będącymi jednocześnie parzystymi i nieparzystymi są funkcje stałe równe tożsamościowo zeru, czyli w każdym punkcie swojej dziedziny: