Funkcja monotoniczna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Funkcje matematyczne

dziedzina

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:

wymierna - niewymierna
wielomian
stała - liniowa - kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:

trygonometryczne - cyklometryczne
hiperboliczne - area
wykładnicza - logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu Γ Β (beta) η W Lamberta Bessela ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa φ π λ

Własności

przebieg zmienności - parzystość - monotoniczność - ograniczoność - okresowość - różnowartościowość - suriektywność - wzajemna jednoznaczność - ciągłość

Funkcja monotoniczna – funkcja zachowująca się tak samo w pewnym zbiorze, najczęściej przedziale - jest to funkcja, która ciągle rośnie lub ciągle maleje. Przez "zachowanie" funkcji rozumie się jej przyrost. I tak:

funkcja malejąca to taka funkcja $f:\mathbb A \to \mathbb B$ , że $\forall a_1, a_2 \in \mathbb A (a_1 > a_2 \implies f(a_1) < f(a_2)).$
funkcja rosnąca to taka funkcja $f:\mathbb A \to \mathbb B$ , że $\forall a_1, a_2 \in \mathbb A (a_1 > a_2 \implies f(a_1) > f(a_2)).$
funkcja niemalejąca to taka funkcja $f:\mathbb A \to \mathbb B$ , że $\forall a_1, a_2 \in \mathbb A (a_1 > a_2 \implies f(a_1) \ge f(a_2))$ .
funkcja nierosnąca to taka funkcja $f:\mathbb A \to \mathbb B$ , że $\forall a_1, a_2 \in \mathbb A (a_1 > a_2 \implies f(a_1) \le f(a_2))$ .
funkcja monotoniczna jest to funkcja albo niemalejąca albo nierosnąca.
funkcja silnie (ściśle) monotoniczna jest to funkcja malejąca lub rosnąca. Czyli $\left(\forall a_1,a_2 \in \mathbb A . a_1 > a_2 \implies f(a_1) > f(a_2)\right)$ $\or \left(\forall a_1,a_2 \in \mathbb A . a_1 > a_2 \implies f(a_1) < f(a_2)\right).$
funkcja stała to taka funkcja $f:\mathbb A \to \mathbb B$ , że $\forall a_1, a_2 \in \mathbb A: f(a_1) = f(a_2)$

Czasem przez funkcję monotoniczną rozumie się funkcję silnie monotoniczną; wówczas funkcje niemalejące i nierosnące nazywa się słabo monotonicznymi.

Symbole < i > oznaczają pewne porządki na zbiorach $\mathbb A$ i $\mathbb B$ . W szczególności może to być zwykła relacja większości na zbiorze liczb rzeczywistych. Pojęcie funkcji stałej można wprowadzić w każdym zbiorze, bez używania relacji porządkującej. W zbiorach uporządkowanych funkcja stała jest jedyną funkcją niemalejącą i nierosnącą. W szczególności funkcja stała jest funkcją monotoniczną.

Oczywiście funkcja rosnąca jest niemalejąca, a funkcja malejąca jest nierosnąca.

Jest jasne, że jeżeli funkcja $f (x)$ jest rosnąca, to funkcja $- f (x)$ jest malejąca i na odwrót. Podobnie ma się rzecz z funkcjami nierosnącymi i niemalejącymi.

Można także mówić, że funkcja jest monotoniczna (lub rosnąca, malejąca itd.) na pewnym przedziale. Na przykład funkcja $f (x) = x 2$ jest rosnąca w przedziale $(0, \infty)$ .

Funkcja silnie monotoniczna musi być funkcją różnowartościową: dla każdych różnych $a 1$ , $a 2$ , $f(a_1) > f(a_2) \or f(a_1) < f(a_2)$ , a więc $f(a_1) \ne f(a_2).$

Spis treści

1 Funkcje monotoniczne zmiennej rzeczywistej
2 Ciągi monotoniczne
3 Przykłady
4 Uogólnienie pojęcia
5 Zobacz też

[edytuj] Funkcje monotoniczne zmiennej rzeczywistej

Funkcja zmiennej rzeczywistej różniczkowalna w przedziale jest monotoniczna, gdy jej pochodna zachowuje stały znak w tym przedziale.

Funkcja przedziałami monotoniczna to funkcja, której dziedzinę można rozbić na przedziały tak, aby w każdym z nich osobno funkcja była monotoniczna. Przykładami takich funkcji są wartość bezwzględna, funkcje trygonometryczne, wszystkie wielomiany (do stopnia 1 wielomiany są funkcjami monotonicznymi). Należy zaznaczyć, że nie każda funkcja rzeczywista jest przedziałami monotoniczna (np. funkcja Dirichleta).

Ważnym przykładem funkcji monotonicznej jest funkcja liniowa. Jest ona malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny, rosnąca, gdy jest dodatni, niemalejąca, gdy jest nieujemny, nierosnąca, gdy jest niedodatni, stała gdy jest równy zeru.

Funkcja wykładnicza jest funkcją rosnącą gdy podstawa potęgi jest większa od 1, stałą gdy jest równa 1, malejącą gdy jest mniejsza od 1.

Funkcja logarytmiczna jest funkcją rosnącą gdy podstawa logarytmu jest większa od 1 (np. logarytm naturalny), a malejącą gdy jest mniejsza od 1.

Funkcja potęgowa na półprostej dodatniej jest rosnąca, gdy wykładnik potęgi jest dodatni, a malejąca, gdy jest ujemny.

[edytuj] Ciągi monotoniczne

Ponieważ każdy ciąg jest funkcją, więc można dla nich też zdefiniować pojęcie monotoniczności w identyczny sposób. A zatem otrzymuje się definicje ciągu stałego, ciągu rosnącego, ciągu malejącego, ciągu nierosnącego, ciągu niemalejącego, ciągu monotonicznego i ciągu ściśle monotonicznego.

Czasem zmienia się nazewnictwo: ciągi nierosnące i niemalejące nazywa się krótko malejącymi i rosnącymi. Wówczas zwykłe ciągi rosnące i malejące nazywa się ciągami ściśle rosnącymi i ściśle malejącymi.

Intuicyjnie, wyrazy ciągu rosnącego ciągle się zwiększają, malejącego ciągle maleją.

Aby zbadać monotoniczność ciągu, wystarczy sprawdzić zachodzenie odpowiednich warunków dla sąsiednich wyrazów. I tak, ciąg $(a n)$ jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego n naturalnego $a n < a n + 1$ , a malejący, jeśli jeśli dla dowolnego n naturalnego $a n > a n + 1$ .

Można mówić, że ciąg jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały od pewnego wyrazu; np. ciąg o wyrazach 1, 1, 2, 6, 24, 120,... (ciąg silni) jest rosnący od drugiego wyrazu (sam ciąg jest tylko niemalejący).

Ogólne pojęcie monotoniczności wprowadzono, aby ułatwić postać wielu twierdzeń. Dla przykładu każdy nieskończony ciąg monotoniczny ograniczony jest zbieżny. Także każdy nieskończony ciąg stały jest zbieżny - jego granica jest równa wspólnej wartości wszystkich jego wyrazów.

[edytuj] Przykłady

ciąg słów (a_n) = (ala, ala, ala, ...) jest stały
ciąg 1, 2, 3, 4, 5, ... jest rosnący
ciąg 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... jest malejący
ciąg 0, 0, 0, 0, 0, ... jako stały jest jednocześnie niemalejący i nierosnący
ciąg 2, 3, 2, 3, 2, 3, ... nie jest monotoniczny.

[edytuj] Uogólnienie pojęcia

Funkcją monotoniczną na zbiorze częściowo uporządkowanym $\langle P, \le\rangle$ nazywamy taką funkcję f że:

$\forall x, y \in P: x \le y \Rightarrow f(x) \le f(y)$

Widać, że druga definicja jest dla funkcji zmiennej rzeczywistej równoważna jedynie definicji funkcji niemalejącej, dlatego rozważając zbiór liczb rzeczywistych jako porządek trzeba zaznaczać w jakim sensie korzysta się z pojęcia monotoniczność.