ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ฟังก์ชันคู่ (even functions) และฟังก์ชันคี่ (odd functions) คือ ฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติเกี่ยวกับควาสมมาตร ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่มีความสำคัญในคณิตวิเคราะห์หลายสาขา โดยเฉพาะเรื่องอนุกรมกำลัง และอนุกรมฟูริเยร์

สารบัญ

1 ฟังก์ชันคู่
2 ฟังก์ชันคี่
3 ข้อเท็จจริง
- 3.1 คุณสมบัติพื้นฐาน
4 ดูเพิ่ม

[แก้] ฟังก์ชันคู่

ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรที่เป็นจำนวนจริง f จะเป็นฟังก์ชันคู่ ถ้าสมการต่อไปนี้เป็นจริง สำหรับทุกค่า x:

f(−x) = f(x)

ตีความในเชิงเรขาคณิตได้ว่า กราฟของฟังก์ชันนี้สมมาตรกับแกน y หมายความว่า ถ้าเราสะท้อนกราฟกับแกน y เราก็ยังได้กราฟรูปเดิม

ตัวอย่างของฟังก์ชันคู่ ได้แก่ | x |, x², x⁴, cos(x), และ cosh(x)

[แก้] ฟังก์ชันคี่

ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรที่เป็นจำนวนจริง f จะเป็นฟังก์ชันคี่ ถ้าสมการต่อไปนี้เป็นจริง สำหรับทุกค่า x:

f(−x) = −f(x)

ตีความในเชิงเรขาคณิตได้ว่า กราฟของฟังก์ชันนี้สมมาตรกับจุดกำเนิด (origin) หมายความว่า ถ้าเราหมุนกราฟไป 180 องศา รอบจุดกำเนิด เราก็ยังได้กราฟรูปเดิม

ตัวอย่างของฟังก์ชันคี่ ได้แก่ x³, sin(x), และ sinh(x)

[แก้] ข้อเท็จจริง

[แก้] คุณสมบัติพื้นฐาน

ฟังก์ชันที่เป็นทั้งฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ มีเพียงฟังก์ชันเดียว ได้แก่ ฟังก์ชันที่เป็นศูนย์เสมอ (f(x) = 0 สำหรับทุกค่า x)
ผลบวกของฟังก์ชันคู่กับฟังก์ชันคี่ จะไม่เป็นทั้งฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่
ผลบวกของฟังก์ชันคู่ 2 ฟังก์ชัน จะเป็นฟังก์ชันคู่, ฟังก์ชันคู่คูณกับค่าคงที่ จะเป็นฟังก์ชันคู่
ผลบวกของฟังก์ชันคี่ 2 ฟังก์ชัน จะเป็นฟังก์ชันคี่, ฟังก์ชันคี่คูณกับค่าคงที่ จะเป็นฟังก์ชันคี่
ผลคูณของฟังก์ชันคู่ 2 ฟังก์ชัน จะเป็นฟังก์ชันคู่
ผลคูณของฟังก์ชันคี่ 2 ฟังก์ชัน จะเป็นฟังก์ชันคู่
ผลคูณของฟังก์ชันคู่กับฟังก์ชันคี่ จะเป็นฟังก์ชันคี่
อนุพันธ์ของฟังก์ชันคู่ จะเป็นฟังก์ชันคี่
อนุพันธ์ของฟังก์ชันคี่ จะเป็นฟังก์ชันคู่