Teoria liczb
Z Wikipedii
Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.
Początki teorii liczb sięgają starożytności. Zajmowali się nią Pitagoras, Euklides, Eratostenes, Diofantos i wielu innych (także Archimedes, ale raczej marginesowo; nowe odkrycia historyczne mogą ten pogląd zmienić).
Bujny rozwój teoria liczb zawdzięcza w wielkiej mierze Pierre'owi Fermatowi (1601-1665), autorowi słynnej hipotezy, zwanej Wielkim Twierdzeniem Fermata. Ogromny wkład w rozwój teorii liczb miał Carl Friedrich Gauss. Z polskich matematyków pierwszy wybitny wynik w teorii liczb uzyskał Wacław Sierpiński.
Badania w zakresie teorii liczb przyczyniły się do znacznego rozwoju wielu gałęzi matematyki: algebry, teorii funkcji zmiennej zespolonej, rachunku prawdopodobieństwa, geometrii algebraicznej i innych.
Najstarszym działem teorii liczb jest elementarna teoria liczb, w której nie stosuje się metod teorii funkcji analitycznych. Jednym z najważniejszych osiągnięć elementarnej teorii liczb jest dowód Erdösa i Selberga twierdzenia o dystrybucji liczb pierwszych (ich dowody były oparte na Lemacie Selberga). Teoria liczb zajmuje się również rozwiązywaniem równań w dziedzinie liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych oraz (od niedawna) liczb p-adycznych.
[edytuj] Równania diofantyczne
Jednym z podstawowym problemów teorii równań diofantycznych jest znalezienie efektywnych sposobów wyznaczenia rozwiązań danego równania. Okazało się, że nie istnieje algorytm, który w każdym przypadku prowadziłby do rozwiązania równania diofantycznego. Znane są tylko algorytmy rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych wielu zmiennych oraz pewnych szczególnych przypadków równań wyższych stopni.
Często nie potrafimy odpowiedzieć na podstawowe pytania: czy dane równanie diofantyczne ma choć jedno rozwiązanie, czy liczba tych rozwiązań jest skończona, czy jest ich nieskończenie wiele?
Stale używanym narzędziem teorii równań diofantycznych (i w ogóle w teorii liczb) jest stworzona przez Gaussa teoria kongruencji. Kongruencja to przystawanie liczb "modulo n": liczby a i b przystają modulo n, jeżeli ich różnica a-b dzieli się bez reszty przez n, co zapisuje się: a ≡ b (mod n).
Klasycznym przykładem równania diofantycznego, rozwiązanego przez samego Diofantosa (to od jego nazwiska ukuto nazwę tego działu matematyki; Diofantosa initeresowały rozwiazania w liczbach wymiernych, a nie naturalnych), jest problem trójkątów pitagorejskich. Szukamy rozwiązań w liczbach naturalnych równania: x2 + y2 = z2. Przykładowe rozwiązania to następujące trójki pitagorejskie: (3, 4, 5), (5, 12, 13),.... Rozwiązania nie będące wielokrotnościami innych rozwiazań to tzw. "rozwiązania właściwe" lub trójkąty pitagorejskie, właściwe. Nieskończoną serię takich rozwiązań uzyskała już szkoła Pitagorasa.
Wszystkie rozwiązania właściwe równania Pitagorasa w liczbach naturalnych (x, y, z) można uzyskać ze wzorów podanych przez Diofantosa: x = k2 − l2, y = 2kl, z = k2 + l2; gdzie k, l to liczby naturalne, przy czym k > l. Jeśli k i l są względnie pierwsze, o różnej parzystości, to uzyskuje się rozwiązania właściwe. W ten sposób można uzyskać wszystkie rozwiązania właściwe.
Liczby zespolone pozwalają określić trójkąt pitagorejski jako Re(z²), Im(z²), |z²|, gdzie z jest liczbą zespoloną, o całkowitej części rzeczywistej i urojonej.
Istnieje też geometryczna konstrukcja Vogelera umożliwiająca znajdowanie trójkątów pitagorejskich, ale nie ma znaczenia praktycznego. Sposób Vogelera pozwala również skonstruować wszystkie ułamki pitagorejskie: każda znaleziona trójka pitagorejska generuje trzy następne.
[edytuj] Podział teorii liczb
Teoria liczb podzielona jest obecnie na wiele mniejszych działów. Można w niej wyodrębnić m. in. część algebraiczną, analityczną i probabilistyczną.
Można też podzielić ten dział matematyki na addytywną i multiplikatywną teorię liczb. Pierwsza zajmuje się dodawaniem i odejmowaniem, a druga mnożeniem i dzieleniem liczb całkowitych. Te wydawałoby się proste operacje arytmetyczne prowadzą nierzadko do trudnych i wciąż nierozwiązanych problemów, takich jak problem Collatza czy słynna hipoteza Goldbacha, która jest przykładem nie udowodnionego przez wieki twierdzenia o sumach liczb pierwszych (addytywna teoria liczb).
