Liczby rzeczywiste

Z Wikipedii

Liczby rzeczywiste są to liczby, które reprezentują wartości ciągłe (wraz z zerem i liczbami ujemnymi). Klasycznym modelem zbioru liczb rzeczywistych jest oś liczbowa. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest przez symbol lub po prostu R.

Pojęcie liczby rzeczywistej określa wszystkie rodzaje liczb używane w praktyce codziennej – liczby naturalne, liczby całkowite, ułamki, liczby ujemne, pierwiastki...

Uogólnieniem pojęcia liczby rzeczywistej jest liczba zespolona.

Spis treści 1 Niektóre sposoby konstrukcji 1.1 Definicja aksjomatyczna 1.2 Uzupełnienie liczb wymiernych 1.3 Przekroje Dedekinda 2 Niektóre własności 2.1 Topologia 2.2 Teoria mnogości 3 Reprezentacja w komputerze 4 Zobacz też

[edytuj] Niektóre sposoby konstrukcji

[edytuj] Definicja aksjomatyczna

Ogólnie zbiór liczb rzeczywistych można zdefiniować jako zbiór spełniający następujące warunki:

• jest ciałem z działaniami +, ·
• na określony jest porządek liniowy <, który wiąże w następujący sposób funkcje:
  • addytywną (dodawanie): ,
  • multiplikatywną (mnożenie): ,
• każdy niepusty podzbiór , który ma ograniczenie górne, posiada kres górny.

Ostatni warunek znany jest również pod nazwą aksjomatu ciągłości.

[edytuj] Uzupełnienie liczb wymiernych

W zbiorze wszystkich ciągów podstawowych liczb wymiernych możemy wprowadzić relację równoważności w następujący sposób:

a_n % b_n wtedy i tylko wtedy, gdy granica ciągu (a_n – b_n) jest równa 0. Zbiór liczb rzeczywistych można zdefiniować jako przestrzeń ilorazową względem tej relacji.

W konstrukcji tej tak naprawdę utożsamiamy liczby rzeczywiste z granicami ciągów liczb wymiernych. Nie możemy tego jednak sformułować wprost, gdyż aby mówić na przykład o granicy ciągu dążącego do pierwiastka z 2 musimy już mieć zdefiniowane liczby rzeczywiste. Dlatego utożsamiamy je nie z granicami, lecz z samymi ciągami, które są obiektami w pełni zdefiniowanymi. Kosztem intuicji mamy zapewnioną poprawność rozumowania.

[edytuj] Przekroje Dedekinda

Ten sposób konstrukcji podany został przez XIX-wiecznego matematyka Richarda Dedekinda. Rozpatrzmy wszystkie własności P, Q liczb wymiernych takie, że

• każda liczba wymierna posiada dokładnie jedną z własności P i Q
• każda liczba mająca własność P jest mniejsza od każdej liczby mającej własność Q
• dla każdego d > 0 wymiernego znajdziemy dwie liczby - jedną spełniającą własność P, a drugą Q - które są bliższe sobie niż d
• nie istnieje największa liczba mająca własność P.

Zdefiniujmy przekrój Dedekinda jako dwa zbiory: zbiór liczb wymiernych mających własność P i zbiór liczb wymiernych mających własność Q. Liczby rzeczywiste utożsamiamy z wszystkimi możliwymi przekrojami. Jeśli (P,Q) jest przekrojem Dedekinda, i q jest najmniejszą liczbą spełniającą własność Q, to (P,Q) representuje liczbę wymierną q; jeśli nie istnieje najmniejsza liczba spełniająca własność Q, to (P,Q) representuje liczbę niewymierną.

Na przykład własnością P może być warunek "x²<2 lub x<0" natomiast własnością Q "x²>2 i x>0". Przekrój Dedekinda tych własności jest (w tym ujęciu) liczbą . Jeśli własnością P jest warunek "x<7", i Q jest warunek "x≥7", to para (P,Q) definiuje liczbę rzeczywistą 7.

[edytuj] Niektóre własności

[edytuj] Topologia

Jeżeli zdefiniować odległość dwu liczb rzeczywistych a i b jako wartość bezwzględną | a − b | ich różnicy, to zbiór liczb rzeczywistych jest przestrzenią metryczną zupełną w tej metryce. Metrykę tę (i generowaną przez nią topologię) nazywa się często metryką (topologią) naturalną zbioru liczb rzeczywistych. Przestrzeń ta jest ośrodkowa (odpowiednim zbiorem gęstym jest na przykład zbiór liczb wymiernych), a więc spełnia drugi aksjomat przeliczalności, spójna spójna i lokalnie zwarta.

[edytuj] Teoria mnogości

• Zbiór liczb rzeczywistych ma moc continuum, a więc większą od mocy zbioru liczb wymiernych (zobacz także: rozumowanie przekątniowe).
• Zbiór liczb niewymiernych ma również moc continuum.

Liczby rzeczywiste są szczególnym przypadkiem:

• liczb zespolonych,
• kwaternionów,
• oktaw Cayleya.
• sedenionów

Szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych są:

• liczby dodatnie i liczby niedodatnie, liczby ujemne i liczby nieujemne: zobacz znak liczby
• liczby naturalne,
• liczby całkowite,
• liczby wymierne,
• liczby niewymierne.

[edytuj] Reprezentacja w komputerze

Przybliżoną, cyfrową reprezentacją liczby rzeczywistej w komputerze jest liczba zmiennoprzecinkowa i typ zmiennoprzecinkowy.

[edytuj] Zobacz też

ciąg podstawowy, liczba, ułamek dziesiętny, ułamek okresowy,