Funkcje hiperboliczne odwrotne

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Funkcje matematyczne

dziedzina

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:

wymierna - niewymierna
wielomian
stała - liniowa - kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:

trygonometryczne - cyklometryczne
hiperboliczne - area
wykładnicza - logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu Γ Β (beta) η W Lamberta Bessela ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa φ π λ

Własności

przebieg zmienności - parzystość - monotoniczność - ograniczoność - okresowość - różnowartościowość - suriektywność - wzajemna jednoznaczność - ciągłość

Funkcje hiperboliczne odwrotne (funkcje polowe, funkcje area) – funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Definiuje się je następującymi wzorami:

$\operatorname{arsinh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

(area sinus hiperboliczny) - funkcja odwrotna do sinusa hiperbolicznego

$\operatorname{arcosh} x = \ln(x \pm \sqrt{x^2 - 1}) = \pm\ln (x+ \sqrt{x^2-1})$

(area cosinus hiperboliczny) - funkcja odwrotna do cosinusa hiperbolicznego

$\operatorname{artanh} x = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

(area tangens hiperboliczny) - funkcja odwrotna do tangensa hiperbolicznego

$\operatorname{arcoth} x = \ln\left(\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1}\right) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln \frac{x+1}{x-1}$

(area cotangens hiperboliczny) - funkcja odwrotna do cotangensa hiperbolicznego

$\operatorname{arsech} x = \ln\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)$

(area secans hiperboliczny) - funkcja odwrotna do secansa hiperbolicznego

$\operatorname{arcsch} x = \ln\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 + x^2}}{x}\right)$

(area cosecans hiperboliczny) - funkcja odwrotna do cosecansa hiperbolicznego

Spis treści

1 Area sinus
2 Area cosinus
3 Area tangens
4 Area cotangens
5 Funkcje hiperboliczne odwrotne jako całki
6 Związek z funkcjami cyklometrycznymi
7 Pochodne funkcji area
8 Właściwości analityczne
9 Wykresy

[edytuj] Area sinus

Dziedziną funkcji oraz przeciwdziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ . Funkcja w punkcie $x = 0$ ma punkt przegięcia, jest rosnąca na całej dziedzinie i nie ma asymptot.

$arsinh(x)=\ln(x\pm \sqrt{x^2-1})$ , x ε $\mathbb{R}$

[edytuj] Area cosinus

Area cosinus hiperboliczny, jako funkcja odwrotna do funkcji parzystej - jest niejednoznaczny. Funkcja ma dwie gałęzie, które obie są określone tylko na przedziale $[1; +\infty)$ . Ogólnie:

$arcosh(x)=\ln(x\pm \sqrt{x^2-1})$

Poszczególne gałęzie są dane wzorami:

$arcosh_1(x)=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$

$arcosh_2(x)=\ln(x-\sqrt{x^2-1})$

Dziedziną funkcji jest przedział $[1,\infty)\,$ .

[edytuj] Area tangens

Dziedziną funkcji jest przedział $(-1,1)\,$ , jest nieparzysta oraz rosnąca. Ma dwie asymptoty: $x=-1,\;x=1\,$ .

[edytuj] Area cotangens

Dziedziną funkcji area cotangens jest przedział $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)\,$ . Funkcja nie ma ekstremów i punktów przegięcia, ma 3 asymptoty: $y=0,\;x=-1,\;x=1\,$ .

[edytuj] Funkcje hiperboliczne odwrotne jako całki

$\int \frac {dx} {\sqrt{1 - x^2}} = \operatorname{arcsin}(x) = - \operatorname{arccos}(x) + \frac {\pi}{2}$

$\int \frac {dx} {\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arcsinh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

$\int \frac {dx} {\sqrt{x^2 - 1}} = \operatorname{arccosh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$

$\int \sqrt{1 - x^2} dx = \frac{\operatorname{arcsin}(x) + x\sqrt{1 - x^2}}{2}$

$\int \sqrt{x^2 + 1} dx = \frac{\operatorname{arcsinh}(x) + x\sqrt{x^2 + 1}}{2} = \frac{\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + x\sqrt{x^2 + 1}}{2}$

$\int \sqrt{x^2 - 1} dx = \frac{- \operatorname{arccos}h(x) + x\sqrt{x^2 - 1}}{2} = \frac{- \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) + x\sqrt{x^2 - 1}}{2}$

$\int \frac {dx} {1 + x^2} = \operatorname{arctan}(x)$

$\int \frac {dx} {1 - x^2} = \operatorname{arctanh}(x) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

[edytuj] Związek z funkcjami cyklometrycznymi

$\operatorname{arcsinh}(x) = i \arcsin(-ix)$

$\operatorname{arccosh}(x) = i \arccos(x)$

$\operatorname{arctanh}(x) = i \arctan(-ix)$

[edytuj] Pochodne funkcji area

$\frac{d}{dx}arsinh(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
pochodnymi gałęzi area cosinusa hiperbolicznego są:

$\frac{d}{dx}arcosh_1(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}arcosh_2(x)=\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}$

Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji area

[edytuj] Właściwości analityczne

area sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą i funkcją rosnącą
funkcją odwrotną dla pierwszej gałęzi area cosinusa hiperbolicznego jest cosinus hiperboliczny dla argumentów większych od zera; dla drugiej gałęzi cosinus hiperboliczny dla argumentów mniejszych od zera